sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

correction de l'exercice 4

1. Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.

   L'aire de la partie hachurée est comprise entre l'aire du triangle SAB et l'aire du trapèze MABN.

   Avec la précision permise par la figure, les coordonnées des différents points sont $A\left(\mathrm{0,45};\mathrm{2,7}\right)$, $B\left(3;\mathrm{2,7}\right)$, $M\left(\mathrm{0,45};1\right)$, $S\left(1;1\right)$ et $N\left(\mathrm{1,45};1\right)$.

   On en déduit :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{2,55}\times \mathrm{1,7}}{2}}<\mathrm{A}<{\displaystyle \frac{\left(\mathrm{2,55}+1\right)\times \mathrm{1,7}}{2}}& \text{soit}& 2<\mathrm{A}<3\end{array}$$

   L'aire A est comprise entre 2 et 3 carreaux.

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2. Déterminer graphiquement les valeurs de $f\left(1\right)$ et de $f\prime \left(1\right)$.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point $S\left(1;1\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses.

   $f\left(1\right)=1$ et $f\prime \left(1\right)=0$.

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3. Vérifier que le choix de $a=4$ et $b=-3$ répond au problème posé.

   • $f\left(1\right)=1$ d'où $a+b+4\ln \left(1\right)=1$ soit $a+b=1$

   • $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}$. Comme $f\prime \left(1\right)=0$, on en déduit que $-a+4=0$

   Ainsi, a et b sont solution du système :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}a+b=1\\ -a+4=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=4\\ b=-3\end{array}\end{array}$$

   La fonction f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{x}}+4\ln \left(x\right)-3$.

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4. Soit la fonction F définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(4x+4\right)\ln \left(x\right)-7x$.
   Montrer que F est une primitive de f.

   Dire que F est une primitive de f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a : $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   La fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)=\left(4x+4\right)\ln \left(x\right)$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
   $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=4x+4\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$. Soit $g\prime \left(x\right)=4\times \ln \left(x\right)+\left(4x+4\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   On en déduit que :$$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& 4\times \ln \left(x\right)+\left(4x+4\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-7\\ & =& 4\ln \left(x\right)+4+{\displaystyle \frac{4}{x}}-7\\ & =& 4\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{4}{x}}-3\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a : $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f.

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5. Déterminer en cm² près une valeur approchée de l'aire A.

   • Étudions les variations de la fonction f

     La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x}}={\displaystyle \frac{4x-4}{x^2}}$

     Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

     x	0				1		$+\infty$
     $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $f\left(x\right)$					1

   • Le minimum de la fonction f est égal à 1 donc la fonction f est positive.

     Par conséquent, l'aire A exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré est égale à la différence entre l'aire du tapèze ABCD et l'aire du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\mathrm{0,45}$ et $x=3$.

     Soit $$\begin{array}{rcl}A& =& {\displaystyle \frac{\left(AD+BC\right)\times CD}{2}}-{\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,45}}^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(f\left(\mathrm{0,45}\right)+f\left(3\right)\right)\times \left(3-\mathrm{0,45}\right)}{2}}-\left(F\left(3\right)-F\left(\mathrm{0,45}\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,45}}}+4\ln \left(\mathrm{0,45}\right)-3+{\displaystyle \frac{4}{3}}+4\ln \left(3\right)-3\right)\times \mathrm{2,55}}{2}}-\left(16\ln \left(3\right)-21-\mathrm{5,8}\ln \left(\mathrm{0,45}\right)+\mathrm{3,15}\right)\\ & =& \mathrm{5,1}\ln \left(\mathrm{0,45}\right)+\mathrm{5,1}\ln \left(3\right)+{\displaystyle \frac{\mathrm{16,15}}{3}}-16\ln \left(3\right)+\mathrm{5,8}\ln \left(\mathrm{0,45}\right)+\mathrm{17,85}\\ & =& \mathrm{10,9}\ln \left(\mathrm{0,45}\right)-\mathrm{10,9}\ln \left(3\right)+{\displaystyle \frac{\mathrm{69,7}}{3}}\\ & =& \mathrm{10,9}\ln \left(\mathrm{0,15}\right)+{\displaystyle \frac{\mathrm{69,7}}{3}}\end{array}$$

   • Comme la longueur d'un carreau est de 10 cm alors l'aire d'un carreau est de 100 cm². Par conséquent, l'aire A exprimée en cm² est :$$\left(\mathrm{10,9}\ln \left(\mathrm{0,15}\right)+{\displaystyle \frac{\mathrm{69,7}}{3}}\right)\times 100\approx \mathrm{255,47}$$

   Arrondie au cm² près, la valeur approchée de l'aire A est de 255 cm².

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