sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2015

correction de l'exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. La négation de la phrase suivante « toute solution de l'équation (E) est strictement supérieure à 3 » :

   1. toute solution de (E) est inférieure ou égale à 3

   2. aucune solution de (E) n'est strictement supérieure à 3

   3. au moins une solution de (E) est inférieure ou égale à 3

   4. une seule solution de (E) est inférieure ou égale à 3

2. Soient $Z_1$ et $Z_2$ les nombres complexes définis par : $Z_1=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ et $Z_2=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$. Une forme exponentielle du quotient ${\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}}$ est :

   $${\displaystyle \frac{Z_1}{Z_2}}={\displaystyle \frac{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}}{3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}+\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$$

   a.  ${\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   b.  $-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   c.  $-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   d.  ${\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

3. On considère l'équation différentielle $y\prime +5y=3$, où y désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution f de cette équation telle que $f\left(0\right)=0$ est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +5y=3$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x\mapsto k{\mathrm{e}}^{-5x}+{\displaystyle \frac{3}{5}}$ où k est une constante réelle.

   $f\left(0\right)=0$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+{\displaystyle \frac{3}{5}}=0$. Soit $k=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$

   Il existe donc une seule fonction f solution de de l'équation différentielle vérifiant la condition initiale $f\left(0\right)=0$ : la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{5}}{\mathrm{e}}^{-5x}+{\displaystyle \frac{3}{5}}$

   a.  $f\left(x\right)=\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{5x}+\mathrm{0,6}$

   b.  $f\left(x\right)=-\mathrm{0,6}{\mathrm{e}}^{-5x}+\mathrm{0,6}$

   c.  $f\left(x\right)=0$

   d.  $f\left(x\right)=-3{\mathrm{e}}^{-5x}+3$

4. On considère la production d'une usine de composants électroniques. On admet que la durée de fonctionnement sans panne (en années) de ces composants peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,1}$.
   La probabilité qu'un composant pris au hasard, soit tombé en panne au bout 6 ans est, au centième près :

   $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾6\right)& =& 1-P\left(X<6\right)\hfill \\ & =& 1-{\displaystyle {\int }_0^6\mathrm{0,1}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& 1-{\left[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}\right]}_0^6\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,55}\hfill \end{array}$$

   a.  1,6

   b.  0,55

   c.  0,45

   d.  0,05

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