sujet : France métropolitaine septembre 2016

correction de l'exercice 1

1. Dans cette question, on ne demande pas de justification.

   1. Quelle est, à la sortie du four, la température des plaques ?

      À la sortie du four, les plaques sont à une température de 300°C.

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   2. Comment varie, à la sortie du four, la température des plaques au cours du temps ?

      À la sortie du four, les plaques sont disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26°C donc la température des plaques va baisser.

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   3. Vers quelle valeur la température des plaques devrait-elle se stabiliser ?

      La température de la pièce est maintenue à 26°C donc la température des plaques devrait-elle se stabiliser à à 26°C.

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2. La température d'une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du temps t, exprimé en minutes, par une fonction g. On admet que cette fonction g est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(t\right)=274{\mathrm{e}}^{at}+26$ où a est un nombre réel.

   1. Calculer $g\left(0\right)$. Ce résultat est-il conforme aux données ?

      $$g\left(0\right)=274\times {\mathrm{e}}^0+26=300$$

      $g\left(0\right)=300$, on obtient bien la température plaques à la sortie du four.

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   2. D'après la question 1, quel doit être le signe du nombre réel a ?

      Comme la fonction g est décroissante, le nombre réel a est négatif.

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   3. On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température de la plaque, arrondie à l'unité, est de 262°C.
      Montrer que la valeur approchée à ${10}^{-2}$ près du coefficient a est $-\mathrm{0,05}$.

      Le nombre réel a est solution de l'équation : $$\begin{array}{rcl}274{\mathrm{e}}^{3a}+26=262& \iff & {\mathrm{e}}^{3a}={\displaystyle \frac{236}{274}}\\ & \iff & 3a=\ln \left({\displaystyle \frac{118}{137}}\right)\\ & \iff & a={\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{118}{137}}\right)}{3}}\approx -\mathrm{0,05}\end{array}$$

      La valeur approchée à ${10}^{-2}$ près du coefficient a est $a\approx -\mathrm{0,05}$.

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3. Dans cette question on considère que, pour tout nombre réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ :$g\left(t\right)=274{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}+26$.

   1. Avec les gants actuellement utilisés, à quelle température l'ouvrier pourra-t-il manipuler les plaques après leur sortie du four, en respectant les caractéristiques techniques de la commission de sécurité ?

      $$g\left(10\right)=274\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}+26\approx 192$$

      Avec les gants actuellement utilisés, l'ouvrier pourra manipuler les plaques à la température de 192°C.

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   2. Si le directeur décidait d'équiper les ouvriers avec les nouveaux gants, quel délai d'attente minimal serait requis avant que les ouvriers puissent manipuler les plaques ?

      Le délai d'attente t est solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rcl}274{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}+26⩽240& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}⩽{\displaystyle \frac{214}{274}}\\ & \iff & -\mathrm{0,05}t⩽\ln \left({\displaystyle \frac{107}{137}}\right)\\ & \iff & t⩾-{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{107}{137}}\right)}{\mathrm{0,05}}}\\ & \iff & t⩾20\ln \left({\displaystyle \frac{137}{107}}\right)\end{array}$$

      Comme $20\ln \left({\displaystyle \frac{137}{107}}\right)\approx \mathrm{4,943}$, on en déduit que :

      Avec les nouveaux gants, l'ouvrier pourra manipuler les plaques au bout de 5 minutes.

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   3. En déduire le gain de temps, en pourcentage, dû à l'utilisation de ces nouveaux gants.

      Avec les nouveaux gants, le temps d'attente est divisé par deux soit un gain de 50%.

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