Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine septembre 2016

correction de l'exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes.

Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{- 3}$ .

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes.
La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.
Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

partie a

La variable aléatoire X désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Le nombre de boîtes est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes par conséquent, la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,04$
Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.
Avec la calculatrice, on trouve $P (X = 4) \approx 0,055$
La probabilité qu'un lot contienne exactement quatre boîtes non conformes est 0,055.

partie b

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par X par la loi normale d'espérance $μ = 8$ et d'écart-type $σ = 2,77$ .

Justifier le choix de ces paramètres.
- La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,04$ alors :
  - son espérance vaut $E (X) = 200 \times 0,04 = 8$ ;
  - son écart-type vaut $σ = \sqrt{200 \times 0,04 \times 0,96} \approx 2,77$ .
- En outre, on a $n = 200$ , $n p = 200 \times 0,04 = 8$ et $n (1 - p) = 200 \times 0,96 = 192$ . Donc les trois conditions $n ⩾ 30$ , $n p ⩾ 5$ et $n (1 - p) ⩾ 5$ sont réunies pour approcher la loi binomiale par la loi normale.
La loi binomiale suivie par X peut être approchée par la loi normale d'espérance $μ = 8$ et d'écart-type $σ = 2,77$ .
À l'aide de la loi normale ainsi définie :
1. calculer $P (6 ⩽ X ⩽ 10)$ et interpréter le résultat trouvé ;
  Avec la calculatrice, on trouve $P (6 ⩽ X ⩽ 10) \approx 0,53$
  La probabilité qu'un lot contienne entre 6 et 10 boîtes non conformes est 0,53.
2. déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.
  $\begin{matrix} P (X ⩽ 4) & = & P (X ⩽ 8) - P (4 ⩽ X ⩽ 8) \\ = & 0,5 - P (4 ⩽ X ⩽ 8) \\ \approx & 0,074 \end{matrix}$
  La probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes est 0,074.

partie c

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes. Le fabricant des boîtes est averti. Doit-il s'inquiéter ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.

La frequence de boîtes non conformes dans l'échantillon prélevé est $f = \frac{11}{200} = 0,055$ .
Comme $n ⩾ 30$ , $n p ⩾ 5$ et $n (1 - p) ⩾ 5$ , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de boîtes non conformes dans un échantillon de taille 200 est : $\begin{matrix} I = [0,04 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,04 \times 0,96}{200}}; 0,04 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,04 \times 0,96}{200}}] \end{matrix}$
Soit avec des valeurs approchées à $10^{- 3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de boîtes non conformes dans un échantillon de taille 200 est $I = [0,012; 0,068]$ .

La fréquence de boîtes non conformes dans l'échantillon prélevé appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc cet échantillon est représentatif de la production du fabricant.

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