Baccalauréat technologique 2018 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2018

correction de l'exercice 1

Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.

partie a

Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

On donne ci-dessous la représentation graphique 𝒞 d'une fonction f définie sur $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$ .
La courbe 𝒞 a deux asymptotes, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 1$ . par convention graphique on a $\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x < 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$ .
$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$
$\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x < 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$
$\lim_{\begin{matrix} x \to 1 \\ x > 1 \end{matrix}} f (x) = - \infty$
$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$
Une solution g de l'équation différentielle $y ″ + 9 y = 0$ vérifiant $g (0) = 1$ est définie sur $ℝ$ par :
Les solutions de l'équation différentielle $y ″ + 9 y = 0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t \mapsto k_{1} \cos (3 t) + k_{2} \sin (3 t)$ où $k_{1}$ et $k_{2}$ sont deux constantes réelles.
La condition $g (0) = 1$ équivaut à $k_{1} = 1$ . Ainsi, une solution g de cette l'équation différentielle vérifiant $g (0) = 1$ est définie sur $ℝ$ par $g (t) = \cos (3 t) + \sin (3 t)$ .
1. $g (t) = \cos (9 t) + \sin (9 t)$
2. $g (t) = 4 \cos (3 t) - 3$
3. $g (t) = \cos (3 t) + \sin (3 t)$
4. $g (t) = 2 \cos (3 t) - \sin (3 t)$
L'équation $\ln (x - 2) = - 2$ admet pour solution dans $ℝ$ :
Pour tout réel $x > 2$ : $\begin{matrix} \ln (x - 2) = - 2 & \Leftrightarrow & x - 2 = e^{- 2} & \Leftrightarrow & x = 2 + e^{- 2} \end{matrix}$
1. 0
2. $2 + e^{- 2}$
3. 2,14
4. $2 - e^{2}$
La dérivée de la fonction h définie sur $ℝ$ par $h (x) = x e^{- 2 x}$ est la fonction $h'$ définie sur $ℝ$ par :
La fonction h est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. $h = u v$ d'où $h' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x : ${\begin{array}{lcl} u (x) = x & ; & u' (x) = 1 \\ v (x) = e^{- 2 x} & ; & v' (x) = - 2 e^{- 2 x} \end{array}$
Soit pour tout nombre réel x : $\begin{array}{rcl} h' (x) & = & e^{- 2 x} + x \times (- 2 e^{- 2 x}) \\ = & (1 - 2 x) \times e^{- 2 x} \end{array}$
1. $h' (x) = e^{- 2 x}$
2. $h' (x) = - 2 e^{- 2 x}$
3. $h' (x) = - 2 x e^{- 2 x}$
4. $h' (x) = (1 - 2 x) e^{- 2 x}$

partie b

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$ .
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{π}{2}$ .
On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{A}$ , $z_{B}$ et $z_{C}$ : $\begin{matrix} z_{A} = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{i} & z_{B} = 2 e^{i \frac{π}{3}} & z_{C} = - 2 i e^{- i \frac{π}{6}} \end{matrix}$

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

affirmation 1 : La forme algébrique de $z_{A}$ est $\sqrt{2} - i \sqrt{2}$ .
$z_{A} = \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{i} = \frac{\sqrt{2}}{i} + \sqrt{2} = \frac{i \sqrt{2}}{i^{2}} + \sqrt{2} = - i \sqrt{2} + \sqrt{2}$
L'affirmation 1 est vraie : la forme algébrique de $z_{A}$ est $\sqrt{2} - i \sqrt{2}$ .
affirmation 2 : Un argument de $z_{C}$ est $\frac{π}{6}$ .
$- 2 i e^{- i \frac{π}{6}}$ n'est pas une forme exponentielle d'un nombre complexe. Comme $e^{- i \frac{π}{2}} = - i$ , on en deduit : $z_{C} = - 2 i e^{- i \frac{π}{6}} = 2 \times e^{- i \frac{π}{2}} \times e^{- i \frac{π}{6}} = 2 e^{i (- \frac{π}{2} - \frac{π}{6})} = 2 e^{- i \frac{2 π}{3}}$
L'affirmation 2 est fausse : un argument de $z_{C}$ est $- \frac{2 π}{3}$ .
affirmation 3 : Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
Le module du nombre complexe $z_{A} = \sqrt{2} - i \sqrt{2}$ est : $| z_{A} | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{2 + 2} = 2$
Le module du nombre complexe $z_{B} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ est $| z_{B} | = 2$ et, le module du nombre complexe $z_{C} = 2 e^{- i \frac{2 π}{3}}$ est $| z_{C} | = 2$
L'affirmation 3 est vraie : $| z_{A} | = | z_{B} | = | z_{C} | = 2$ donc les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.
affirmation 4 :O est le milieu du segment [BC].
$\begin{matrix} \arg (\frac{z_{B}}{z_{C}}) = \frac{π}{3} - (- \frac{2 π}{3}) [π] & \Leftrightarrow & \arg (\frac{z_{B}}{z_{C}}) = π [π] \end{matrix}$
L'affirmation 4 est vraie : $\arg (\frac{z_{B}}{z_{C}}) = 0 [π]$ donc les points O, B et C sont alignés et comme $OB = OC = 2$ on en déduit que O est le milieu du segment [BC].

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