sujet : Polynésie 2018

correction de l'exercice 2

Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.

partie a

1. Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1 %.

   $$\left({\displaystyle \frac{93100}{65793}}-1\right)\times 100\approx \mathrm{41,5}$$

   Entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France a augmenté d'environ 42 %.

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On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France sera constante et égale à 40 %.
Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel n, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$.
Ainsi on a $u_0=93100$.

2. 1. Déterminer le nombre de véhicules « 100 % électrique » en France au 31 décembre 2017.

      $$u_1=93100\times \left(1+{\displaystyle \frac{40}{100}}\right)=93100\times \mathrm{1,4}=130340$$

   2. Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

      Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 40 % est égal à 1,4.

      Pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{1,4}{u}_n$. Par conséquent, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,4}$.

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   3. L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé ? Justifier la réponse.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{1,4}$ et de premier terme $u_0=93100$ donc pour tout entier naturel n, $u_n=93100\times {\mathrm{1,4}}^n$.

      On en déduit que $$u_4=93100\times {\mathrm{1,4}}^4\approx 357653$$

      Selon ce modèle, il devrait y avoir plus de 357 600 véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France au 31 décembre de l'année 2020. Ce résultat est conforeme avec l'estimation de l'association Avere-France.

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3. À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France dépassera 1 000 000 avec ce modèle.

   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.

      $n\leftarrow 0$
      $u\leftarrow 93100$

      Tant que $u<1000000$
      $n\leftarrow n+1$
      $u\leftarrow \mathrm{1,4}\times u$
      Fin Tant que

   2. Laquelle des variables n ou u est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème ?

      Il convient d'afficher la variable n qui contient le nombre d'années depuis 2016 pour que le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France dépasse 1 000 000.

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   3. Quelle est la valeur de cette variable ?

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse ou chercher le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>1000000$ :$$\begin{array}{rcll}93100\times {\mathrm{1,4}}^n>1000000& \iff & {\mathrm{1,4}}^n>{\displaystyle \frac{10000}{931}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,4}}^n\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{931}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{1,4}>\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{931}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{931}}\right)}{\ln \mathrm{1,4}}}& \end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{10000}{931}}\right)}{\ln \mathrm{1,4}}}\approx \mathrm{7,06}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>1000000$ est $n=8$.

      La valeur de la variable n obtenue à la fin de l'execution de l'algorithme est $n=8$.

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   4. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

      Selon ce modèle, c'est en 2024 que le nombre de véhicules « 100 % électrique » immatriculés en France dépassera 1 000 000.

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partie b

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules « 100 % électrique ».
La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.
On admet que la variable aléatoire T qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre λ.

1. Déterminer la valeur exacte de λ.

   L'espérance mathématique de la variable T est $E\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ d'où :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=7& \iff & \lambda ={\displaystyle \frac{1}{7}}\end{array}$$

   T suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda ={\displaystyle \frac{1}{7}}$.

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2. Pour la suite, on prendra $\lambda =\mathrm{0,143}$.

   1. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans. On donnera une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

      La densité de la variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,143}$ est la fonction f définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=\mathrm{0,143}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}t}$ d'où :$$\begin{array}{rcl}P\left(T⩾8\right)& =& 1-P\left(T<8\right)\\ & =& 1-{\displaystyle {\int }_0^8\mathrm{0,143}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}t}\mathrm{d}t}\\ & =& 1-{\displaystyle {[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}t}]}_0^8}\\ & =& 1-\left[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}\times 8}-\left(-{\mathrm{e}}^0\right)\right]\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,144}}\approx \mathrm{0,319}\end{array}$$

      La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans est $P\left(T⩾8\right)\approx \mathrm{0,319}$.

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   2. Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie. On donnera une valeur approchée à ${10}^{-3}$ près.

      $$\begin{array}{rcl}P\left(T⩽4\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^4\mathrm{0,143}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}t}\mathrm{d}t}\\ & =& {\displaystyle {[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}t}]}_0^4}\\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,143}\times 4}\\ & \approx & \mathrm{0,436}\end{array}$$

      La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie est $P\left(T⩽4\right)\approx \mathrm{0,436}$.

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   3. Déterminer le réel $t_0$ tel que $P\left(T>t_0\right)=\mathrm{0,75}$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité.
      Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion fonctionne plus de deux ans est égale à 0,75.

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