sujet : Polynésie 2018

correction de l'exercice 4

partie a

1. La valeur de $f\left(0\right)$.

   $f\left(0\right)=4$.

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2. La limite de f en $+\infty$.

   La droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe au voisinage de $+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

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3. Le tableau de variation de f.

   x	$-\infty$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$	$+\infty$		1

4. Le coefficient directeur de la tangente (d) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0.

   La droite (d) passe par les points de coordonnées $\left(0;4\right)$ et $\left(\mathrm{0,5};1\right)$. Son coefficient directeur est : $$m={\displaystyle \frac{4-1}{0-\mathrm{0,5}}}=-6$$

   Le coefficient directeur de la tangente (d) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 est $m=-6$.

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partie b

On considère l'équation différentielle $y\prime +2y=2$ dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur $ℝ$.
On admet que la fonction représentée dans la partie A est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f\left(0\right)=4$.

1. Démontrer que, pour tout réel x, on a $f\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{-2x}+1$.

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

   Par conséquent, les solutions de l'équation différentielle $y\prime +2y=2$ sont les fonctions définies pour tout réel x par $f\left(x\right)=k{\mathrm{e}}^{-2x}+1$ où k est une constante réelle quelconque.

   La condition $f\left(0\right)=4$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+1=4$ d'où $k=3$

   Ainsi, la fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^{-2x}+1$.

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2. Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions 2., 3. et 4. de la partie A.

   1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-2x}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }3{\mathrm{e}}^{-2x}+1=1$.

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   2. La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x par $$f\prime \left(x\right)=3\times \left(-2{\mathrm{e}}^{-2x}\right)+0=-6{\mathrm{e}}^{-2x}$$

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)<0$.

      Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante.

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   3. Le coefficient directeur de la tangente (d) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 est égal à $f\prime \left(0\right)=-6$.

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partie c

1. Montrer que, pour tout $x\in \left[0;4\right]$, on a ${\left(f\left(x\right)\right)}^2=9{\mathrm{e}}^{-4x}+6{\mathrm{e}}^{-2x}+1$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(3{\mathrm{e}}^{-2x}+1\right)}^2& =& {\left(3{\mathrm{e}}^{-2x}\right)}^2+2\times 3{\mathrm{e}}^{-2x}\times 1+1\\ & =& 9{\mathrm{e}}^{-4x}+6{\mathrm{e}}^{-2x}+1\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, on a ${\left(f\left(x\right)\right)}^2=9{\mathrm{e}}^{-4x}+6{\mathrm{e}}^{-2x}+1$.

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2. Calculer le volume du vase, exprimé en ${\mathrm{dm}}^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près.

   Une primitive de la fonction définie sur $ℝ$ par $x⟼9{\mathrm{e}}^{-4x}+6{\mathrm{e}}^{-2x}+1$ est la fonction F définie pour tout réel x par :$$\begin{array}{rcl}F\left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{9}{4}}\times {\mathrm{e}}^{-4x}-{\displaystyle \frac{6}{2}}\times {\mathrm{e}}^{-2x}+x\\ & =& -{\displaystyle \frac{9}{4}}{\mathrm{e}}^{-4x}-3{\mathrm{e}}^{-2x}+x\end{array}$$

   On en déduit que $$\begin{array}{rcl}\pi \times {\displaystyle {\int }_0^4{\left(f\left(x\right)\right)}^2\mathrm{d}x}& =& \pi \times \left(F\left(4\right)-F\left(0\right)\right)\\ & =& \pi \times \left[\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}{\mathrm{e}}^{-16}-3{\mathrm{e}}^{-8}+4\right)-\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}-3\right)\right]\\ & =& \pi \times \left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}{\mathrm{e}}^{-16}-3{\mathrm{e}}^{-8}+{\displaystyle \frac{37}{4}}\right)\end{array}$$

   Le volume du vase en ${\mathrm{dm}}^3$ est $\pi \times \left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}{\mathrm{e}}^{-16}-3{\mathrm{e}}^{-8}+{\displaystyle \frac{37}{4}}\right)$ soit environ $\mathrm{29,06}{\mathrm{dm}}^3$.

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3. On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de $3{\mathrm{dm}}^3$. Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.

   $${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \pi \times \left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}{\mathrm{e}}^{-16}-3{\mathrm{e}}^{-8}+{\displaystyle \frac{37}{4}}\right)}{3}}\approx \mathrm{6,5}$$

   Sept sacs seront nécessaires pour remplir ce vase aux deux tiers de son volume.

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