sujet : Polynésie 2018

correction de l'exercice 3

Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

partie a

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est 0,08.
On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

1. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

      Les 75 ascenseurs fonctionnent de façon indépendante donc X suit une loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=\mathrm{0,08}$.

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   2. Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

      À l'aide de la calculatrice, $$P\left(X=5\right)=\left(\begin{array}{c}75\\ 5\end{array}\right)\times {\mathrm{0,08}}^5\times {\left(1-\mathrm{0,08}\right)}^{70}\approx \mathrm{0,165}$$.

      Arrondie au millième près, la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,165.

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   3. Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾5\right)=1-P\left(X⩽4\right)& \text{soit}& P\left(X⩾5\right)\approx \mathrm{0,726}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,726.

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   4. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

      $E\left(X\right)=75\times \mathrm{0,08}=6$.

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2. On appelle Y la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu =6$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{2,349}$.
   On décide d'approcher la loi de X par la loi de Y.
   En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que :

   1. entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

      Avec la calculatrice, on trouve $P\left(5⩽Y⩽10\right)\approx \mathrm{0,621}$.

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,621.

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   2. plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.

      Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(Y>10\right)& =& P\left(Y⩾6\right)-P\left(6<Y⩽10\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(6<Y⩽10\right)\approx \mathrm{0,044}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est 0,044.

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partie b

Depuis quelque temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs.
Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout.

L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95 %, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08 ? Justifier la réponse.

• La fréquence des pannes est $f={\displaystyle \frac{263}{30\times 75}}={\displaystyle \frac{263}{2250}}\approx \mathrm{0,117}$.

• Comme $n⩾30$, $n\times p=2250\times \mathrm{0,08}=180$ et $n\times \left(1-p\right)=2250\times \mathrm{0,92}=2070$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
  L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des pannes dans un échantillon de taille 2250 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,08}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,92}}{2250}}};\mathrm{0,08}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,92}}{2250}}}\right]\end{array}$$

  Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des pannes dans un échantillon de taille 2250 est $I=\left[\mathrm{0,068};\mathrm{0,092}\right]$.

$\mathrm{0,117}\notin \left[\mathrm{0,068};\mathrm{0,092}\right]$ donc l'entreprise remet en cause l'hypothèse selon laquelle la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08.

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