sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une réponse juste rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. Le prix d'un article subit une première augmentation de 20 % puis une seconde augmentation de 30 %. Le prix de l'article a augmenté globalement de :

   Le coefficient multiplicateur associé aux deux augmentations successives est : $$\mathrm{1,2}\times \mathrm{1,3}=\mathrm{1,56}$$

   Donc le prix de l'article a augmenté de 56%.

   a) 25 %

   b) 50 %

   c) 56 %

2. Le nombre réel ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)}}$ est égal à :

   $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{\ln \left({\mathrm{e}}^2\right)}}& =& {\displaystyle \frac{\ln \mathrm{e}}{2\ln \mathrm{e}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   a)  $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$

   b)  ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   c)  ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

3. Le nombre réel ${\mathrm{e}}^{-3\ln 2}$ est égal à :

   $$\begin{array}{ccccccccc}{\mathrm{e}}^{-3\ln 2}& =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{3\ln 2}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 2^3}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 8}}}& =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}$$

   a)  ${\displaystyle \frac{1}{9}}$

   b) ${\displaystyle \frac{1}{8}}$

   c) − 8

4. Une primitive F de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}$ est définie par :

   Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=-2x$ . La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel x, $u\prime \left(x\right)=-2$.

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-2x}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-2{\mathrm{e}}^{-2x}\right)$.

   Donc pour tout réel x, $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times u\prime \left(x\right){\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ . Par conséquent, l'ensemble des primitives de f sur $ℝ$ est l'ensemble des fonctions de la forme : $x⟼-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}+c$ où c est un réel.

   a)  $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-2x}$

   b) $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-2x}$

   c) $F\left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$

5. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est :

   La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. Par conséquent, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^0\times \left(x-0\right)+{\mathrm{e}}^0& \iff & y=x+1\end{array}$$

   a) $y=x+1$

   b) $y=\mathrm{e}x$

   c) $y={\mathrm{e}}^x$

6. Soit f la fonction définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$ . La fonction f est définie sur :

   f est définie pour tout réel x tel que $$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{e}}^x-1\ne 0& \iff & {\mathrm{e}}^x\ne 1& \iff & x\ne 0\end{array}$$

   Donc f est définie sur $\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[$

   a) $ℝ$

   b) $\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[$

   c) $\left]-1;+\infty \right[$

7. On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x-1+{\displaystyle \frac{1}{2x}}$ . Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f admet au voisinage de $+\infty$ :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2x}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x-1\right)=0$. Donc la courbe représentative de la fonction f admet la droite d'équation $y=2x-1$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.

   a) L'axe des abscisses comme asymptote horizontale

   b) La droite d'équation $y=2x$ comme asymptote oblique

   c) La droite d'équation $y=2x-1$ comme asymptote oblique

8. On considère la fonction logarithme népérien et la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-2$.On donne ci-dessous les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal.
   Dans $ℝ$ , l'équation $\ln x=x^2-2$ admet :

   Les courbes se coupent en deux points d'abscisses positives.

   a) Une solution

   b) Deux solutions de signes contraires

   c) Deux solutions positives

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