sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu. Un jour l'une des deux est déréglée. Les joueurs ne peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.

1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
   On note : D l'évènement « le joueur choisit la console déréglée » et $\overline{D}$ l'évènement contraire ; G l'évènement « le joueur gagne la partie » et $\overline{G}$ l'évènement contraire.
   Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités. Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi une console déréglée.

   1. Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.

      D'après la règle des nœuds :Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.$$\begin{array}{ccccc}p\left(\overline{D}\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}& \text{;}& p_D\left(\overline{G}\right)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}& \text{;}& p_{\overline{D}}\left(\overline{G}\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}\end{array}$$

   2. Calculer la probabilité de l'évènement « le joueur choisit la console déréglée et il gagne».

      $$\begin{array}{ccc}p\left(D\cap G\right)=p\left(D\right)\times p_D\left(G\right)& \text{Soit}& p\left(D\cap G\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,35}\end{array}$$

      La probabilité que le joueur choisisse la console déréglée et gagne est égale à 0,35.

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   3. Calculer la probabilité de l'évènement « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ».

      $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{D}\cap G\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(G\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{D}\cap G\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,1}\end{array}$$

      La probabilité que le joueur choisisse la console non déréglée et gagne est égale à 0,1.

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   4. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.

      Les évènements D et G sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{llll}& p\left(G\right)=p\left(D\cap G\right)+p\left(\overline{D}\cap G\right)& \text{Soit}& p\left(G\right)=\mathrm{0,35}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,45}\end{array}$$

      Ainsi, la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.

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   5. Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu'il a gagné.

      $$\begin{array}{ccc}{p}_G\left(D\right)={\displaystyle \frac{p\left(D\cap G\right)}{p\left(G\right)}}& \text{Soit}& p_G\left(D\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,35}}{\mathrm{0,45}}}={\displaystyle \frac{7}{9}}\end{array}$$

      La probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu'il a gagné est égale à ${\displaystyle \frac{7}{9}}$.

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2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et joue une partie.
   Calculer la probabilité de l'évènement « le joueur gagne exactement deux fois ». Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième.

   Dans cette question, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement G ou à sa non réalisation $\overline{G}$ . Il s'agit donc de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :

   La loi de probabilité associée au nombre de parties gagnées, est une loi binomiale de paramètres 0,45 et 3.

   Il n'y a que trois issues $GG\overline{G}$, $G\overline{G}G$ et $\overline{G}GG$ correspondant à l'évènement E "gagner exactement deux parties ". D'où $$p\left(G\right)=3\times {\mathrm{0,45}}^2\times \mathrm{0,55}\approx \mathrm{0,334}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que sur trois parties, le joueur gagne exactement deux fois est égale à 0,334.

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