sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a : Étude d'une fonction

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$ par $f\left(x\right)=20\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$.

1. 1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $f\prime \left(x\right)=10\left(-x+3\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

      f est de la forme $f=20\times u\times v$ d'où $f\prime =20\times \left(u\prime v+uv\prime \right)$ avec pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $$\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x-1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)=20\left[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right]& \iff & f\prime \left(x\right)=20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\left[1-\mathrm{0,5}\left(x-1\right)\right]\\ & \iff & f\prime \left(x\right)=20{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\left(1+\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)\\ & \iff & f\prime \left(x\right)=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\left(3-x\right)\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $f\prime \left(x\right)=10\left(-x+3\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

      ---

   2. Étudier le signe de la fonction $f\prime$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction f .

      Pour tout nombre réel x, la fonction exponentielle est strictement positive donc sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-x+3\right)$ . D'où le tableau des variations de la fonction f :

      x	0,5		3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}}$		$40{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}$		$140{\mathrm{e}}^{-4}$

      • $f\left(\mathrm{0,5}\right)=20\times \left(\mathrm{0,5}-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}}=-10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}}$

      • $f\left(3\right)=20\times \left(3-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 3}=40{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}$

      • $f\left(8\right)=20\times \left(8-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times 8}=140{\mathrm{e}}^{-4}$

2. Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. On prendra pour unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm, sur l'axe des ordonnées.

3. Justifier que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{-40\left(x+1\right)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$.

   Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, posons $$\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

   Alors, $F\left(x\right)=-40\times {\displaystyle \frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}}$ d'où $F\prime \left(x\right)=-40\times {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)\times v\left(x\right)-u\left(x\right)\times v\prime \left(x\right)}{{\left(v\left(x\right)\right)}^2}}$. Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $$F\prime \left(x\right)=-40\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\right)}^2}}=-40\times {\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,5}\left(x+1\right)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}}=-40\times {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}}=20\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$$

   Ainsi, pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};8\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f

   ---

4. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I définie par $I={\displaystyle {\int }_{\mathrm{1,5}}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{\mathrm{1,5}}^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(\mathrm{1,5}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{-40\times \left(5+1\right)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}\times 5}}}-{\displaystyle \frac{-40\times \left(\mathrm{1,5}+1\right)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}\times \mathrm{1,5}}}}\\ & =& -240\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}+100\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,75}}\end{array}$$

   Donc $I=100\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,75}}-240\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}$

   ---

partie b : Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités. La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.
Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction f de la partie A de la façon suivante : si, un mois donné, on produit x centaines de bicyclettes, alors $f\left(x\right)$ modélise le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

1. 1. Vérifier que si l'entreprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle réalise ce mois-là un bénéfice de 7 989 euros.

      $f\left(\mathrm{2,2}\right)=20\times \left(\mathrm{2,2}-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times \mathrm{2,2}}=24{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,1}}\approx \mathrm{7,989}$

      Si l'entreprise vend 220 bicyclettes, alors elle réalise un bénéfice de 7 989 euros.

      ---

   2. Déterminer le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes un mois donné.

      $f\left(\mathrm{4,08}\right)=20\times \left(\mathrm{4,08}-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}\times \mathrm{4,08}}=\mathrm{81,6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,04}}\approx \mathrm{8,010}$

      Si l'entreprise vend 408 bicyclettes, alors elle réalise un bénéfice de 8 010 euros.

      ---

2. Pour cette question, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
   Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et le modèle précédent. Justifier chaque réponse.

   1. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?

      Le nombre x de centaines de bicyclettes que l'entreprise doit produire pour ne pas travailler à perte est solution de l'inéquation $$\begin{array}{llll}f\left(x\right)⩾0& \iff & 20\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}⩾0& \\ & \iff & \left(x-1\right)⩾0& \text{Pour tout nombre réel }x,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0\\ & \iff & x⩾1& \end{array}$$

      L'entreprise est bénéficiaire pour une production mensuelle comprise entre 100 et 800 bicyclettes.

      ---

   2. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum. Préciser alors ce bénéfice à l'euro près.

      D'après le tableau des variations de la fonction f, le maximum est atteint pour $x=3$ et $f\left(3\right)=40{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}\approx \mathrm{8,925}$

      Le bénéfice mensuel maximal que cette entreprise peut réaliser est de 8 925 euros avec une production de 300 bicyclettes.

      ---

   3. Combien, pour un mois donné, l'entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros ?

      Le nombre x de centaines de bicyclettes que l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros est solution de l'inéquation $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)>8& \iff & 20\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>8\end{array}$$

      À l'aide de la courbe représentative de la fonction f et des valeurs calculées dans la première question nous pouvons conjecturer que :

      L'entreprise réalise un bénéfice mensuel supérieur à 8 000 euros pour une production mensuelle comprise entre 221 et 408 bicyclettes.

      ---

      démontrons ce résultat :

      Sur chacun des intervalles $\left[\mathrm{0,5};3\right]$ et $\left[3;8\right]$ où la fonction f est continue et monotone, le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. permet d'étalir que l'équation $f\left(x\right)=8$ admet une solution unique $a\in \left[\mathrm{0,5};3\right]$ et $b\in \left[3;8\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$ la fonction f est strictement croissante d'où $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)>8& \Rightarrow & x>a\end{array}$$

      • Sur l'intervalle $\left[3;8\right]$ la fonction f est strictement décroissante d'où $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)>8& \Rightarrow & x<b\end{array}$$

      Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)>8$ est l'intervalle $\left]\mathrm{a};\mathrm{b}\right[$

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $a\approx \mathrm{2,204}\dots$ et $b\approx \mathrm{4,086}\dots$

      L'entreprise réalise un bénéfice mensuel supérieur à 8 000 euros pour une production mensuelle comprise entre 221 et 408 bicyclettes.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.