sujet : Amérique du Nord 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à ${10}^{-3}$ si nécessaire.

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant représentant la situation :

   • Un jour d'entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de 0,3 d'où $P\left(V\right)=\mathrm{0,3}$ et $P\left(C\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.
   • Lorsque Fabien commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de 0,4 d'où $P_C\left(N\right)=\mathrm{0,4}$ et $P_C\left(\overline{N}\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$.
   • Lorsque Fabien commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de 0,8 d'où $P_V\left(N\right)=\mathrm{0,8}$ et $P_V\left(\overline{N}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ?

   $$\begin{array}{ccc}P\left(C\cap N\right)=P_C\left(N\right)\times P\left(C\right)& \text{soit}& P\left(C\cap N\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,7}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

   La probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation est égale à 0,28.

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3. Démontrer que : $P\left(N\right)=\mathrm{0,52}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(N\right)=P\left(C\cap N\right)+P\left(V\cap N\right)$$

   Or :$$\begin{array}{ccc}P\left(V\cap N\right)=P_V\left(N\right)\times P\left(V\right)& \text{soit}& P\left(V\cap N\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,24}\end{array}$$

   Par conséquent, $$P\left(N\right)=\mathrm{0,28}+\mathrm{0,24}=\mathrm{0,52}$$

   La probabilité que Fabien fasse une séance de natation est égale à 0,52.

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4. Sachant que Fabien n'a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu'il ait commencé son entrainement par une séance de vélo ?

   $$P_{\overline{N}}\left(V\right)={\displaystyle \frac{P\left(V\cap \overline{N}\right)}{P\left(\overline{N}\right)}}$$

   Or :$$\begin{array}{rlcl}& P\left(V\cap \overline{N}\right)=P_V\left(\overline{N}\right)\times P\left(V\right)& \text{soit}& P\left(V\cap \overline{N}\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,06}\\ \text{et}& P\left(\overline{N}\right)=1-P\left(N\right)& \text{soit}& P\left(\overline{N}\right)=1-\mathrm{0,52}=\mathrm{0,48}\end{array}$$

   D'où $$P_{\overline{N}}\left(V\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,48}}}=\mathrm{0,125}$$

   Lorsque Fabien n'a pas fait de séance de natation, la probabilité qu'il ait commencé son entrainement par une séance de vélo est égale à 0,125.

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partie b

L'épreuve de triathlon s'est déroulée.
Pour chaque participant on enregistre sa performance, c'est-à-dire le temps total pour effectuer les trois épreuves du parcours.
On admet que l'ensemble des performances des participants, exprimées en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d'espérance 2,5 et d'écart-type 0,25.

1. Calculer $P\left(T⩾3\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   La variable aléatoireT suit la loi normale d'espérance $\mu =\mathrm{2,5}$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{0,25}$ d'où : $$\begin{array}{rcl}P\left(T⩾3\right)& =& P\left(X⩾\mathrm{2,5}\right)-P\left(\mathrm{2,5}⩽T<3\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(\mathrm{2,5}⩽T<3\right)\\ & \approx & \mathrm{0,023}\end{array}$$

   $P\left(T⩾3\right)\approx \mathrm{0,023}$. Environ 2,3 % des participants ont une performance supérieure ou égale à 3 heures.

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2. Calculer la probabilité qu'une performance prise en hasard se situe entre 2 heures et 3 heures.

   La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance $\mu =\mathrm{2,5}$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{0,25}$ donc $$P\left(\mathrm{2,5}-2\times \mathrm{0,25}⩽T⩽\mathrm{2,5}+2\times \mathrm{0,25}\right)\approx \mathrm{0,954}$$

   Ainsi, $P\left(2⩽T⩽3\right)\approx \mathrm{0,954}$.

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3. Déterminer t, à la minute près, pour que $P\left(T⩽t\right)=\mathrm{0,75}$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(T⩽t\right)=\mathrm{0,75}$ pour $t\approx \mathrm{2,669}$. Soit un temps t d'environ 2 heures et 40 minutes.

   75 % des performances ont une durée inférieure ou égale à 2 heures et 40 minutes.

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partie C

Chaque participant au triathlon complète une fiche d'inscription comportant différents renseignements, dont le sexe du participant.
L'organisateur affirme que le pourcentage de femmes ayant participé à ce triathlon est de 50 %.
En raison du très grand nombre de participants au triathlon, l'organisateur décide de vérifier cette affirmation sur la base d'un échantillon de 60 fiches tirées au hasard.

1. Calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de femmes dans un échantillon aléatoire de 60 fiches.

   On a $n=60$, $n\times p=60\times \mathrm{0,5}=30$ et $n\times \left(1-p\right)=60\times \mathrm{0,5}=30$.
   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de femmes ayant participé à ce triathlon dans des échantillons de taille $n=60$ est : $$I=\left[\mathrm{0,5}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}}{60}}};\mathrm{0,5}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}}{60}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,373};\mathrm{0,627}\right]$$

   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de femmes ayant participé à ce triathlon dans des échantillons de taille 60 est $I=\left[\mathrm{0,373};\mathrm{0,627}\right]$.

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2. L'échantillon prélevé au hasard comprend 25 fiches correspondant à des femmes.
   Ce constat remet-il en question l'affirmation de l'organisateur ? Justifier la réponse.

   La fréquence de femmes ayant participé à ce triathlon dans l'échantillon de taille 60 est $f={\displaystyle \frac{25}{60}}={\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,417}$. Donc $f\in \left[\mathrm{0,373};\mathrm{0,627}\right]$.

   La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Ce constat ne remet pas en cause l'affirmation de l'organisateur.

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