sujet : Amérique du Nord 2019

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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1. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,3}$. On peut affirmer que $P\left(X⩾1\right)$ est égale à :

   La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,3}$ donc :$$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)& \text{soit}& P\left(X⩾1\right)=1-{\mathrm{0,7}}^{10}\approx \mathrm{0,972}\end{array}$$

   A. environ 0,972

   B. environ 0,999

   C. environ 0,121

   D. ${\displaystyle \frac{3}{10}}$

2. La variable aléatoire T suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[10;40\right]$. On peut affirmer que $P\left(15⩽T⩽25\right)$ est égale à :

   La variable aléatoire T suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[10;40\right]$ donc :$$P\left(15⩽T⩽25\right)={\displaystyle \frac{25-15}{40-10}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

   A. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   B. ${\displaystyle \frac{1}{3}}$

   C. ${\displaystyle \frac{3}{8}}$

   D. ${\displaystyle \frac{5}{8}}$

3. L'arrondi au centième de la somme $1+\mathrm{1,2}+{\mathrm{1,2}}^2+{\mathrm{1,2}}^3+\cdots +{\mathrm{1,2}}^{10}$ est :

   Il s'agit de calculer la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=\mathrm{1,2}$ et de premier terme $u_0=1$ donc :$$1+\mathrm{1,2}+{\mathrm{1,2}}^2+{\mathrm{1,2}}^3+\cdots +{\mathrm{1,2}}^{10}=1\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,2}}^{11}}{1-\mathrm{1,2}}}\approx \mathrm{32,15}$$

   A. 3,27

   B. 25,96

   C. 26,96

   D. 32,15

4. On considère la fonction g deux fois dérivable sur $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ par :$g\left(x\right)=x^2\left(2\ln \left(x\right)-5\right)+2$.

   La convexité de la fonction g se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   • Calculons la dérivée $g\prime$ de la fonction g :

     $g=uv+2$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-5\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)& =& 2x\times \left(2\ln \left(x\right)-5\right)+x^2\times {\displaystyle \frac{2}{x}}\hfill \\ & =& 4x\times \ln \left(x\right)-8x\hfill \\ & =& 4x\left(\ln \left(x\right)-2\right)\hfill \end{array}$$

   • Calculons la dérivée seconde $g″$ de la fonction g :

     $g\prime =uv$ d'où $g″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=4x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-2\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

     Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};10\right]$, $$\begin{array}{ccc}g″\left(x\right)& =& 4\times \left(\ln \left(x\right)-2\right)+4x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& 4\ln \left(x\right)-4\hfill \end{array}$$

   • Étudions le signe de la dérivée seconde $g″$ définie sur $\left[\mathrm{0,1};10\right]$ par $g″\left(x\right)=4\ln \left(x\right)-4$.

     $$\begin{array}{rcl}4\ln \left(x\right)-4⩾0& \iff & \ln \left(x\right)⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

     D'où le tableau de signe de $g″$ :

     x	0,1		e		10
     $g″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

     Ainsi, la fonction g est concave sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};\mathrm{e}\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};10\right]$.

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   A. g est concave sur $\left[\mathrm{0,1};10\right]$

   B. g est concave sur $\left[\mathrm{e};10\right]$

   C. g est convexe sur $\left[\mathrm{0,1};7\right]$

   D. g est convexe sur $\left[\mathrm{e};10\right]$

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