sujet : Amérique du Nord 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a — Lectures graphiques

1. Lire graphiquement les valeurs de $f\left(0\right)$, $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left(11\right)$.

   • La courbe ${𝒞}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $A\left(0-11\right)$ donc $f\left(0\right)=-11$.

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $A\left(0-11\right)$ passant par le point $B\left(5;0\right)$. D'où $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{-11}{-5}}=\mathrm{2,2}$.

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   • La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point C d'abscisse 11 est parallèle à l'axe des abscisses. D'où $f\prime \left(11\right)=0$.

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2. L'affirmation « La fonction F est croissante sur $\left[0;11\right]$. » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

   Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f.
   Or sur l'intervalle $\left[0;11\right]$ la fonction f change de signe donc la fonction F n'est pas monotone sur $\left[0;11\right]$.

   L'affirmation « La fonction F est croissante sur $\left[0;11\right]$. » est fausse.

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partie b — Étude d'une fonction

1. Pour tout réel $x\in \left[0;30\right]$, justifier le résultat de l'instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;30\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x^2-11& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;30\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 2x\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}+\left(x^2-11\right)\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right)\\ & =& \left(2x-\mathrm{0,2}\times \left(x^2-11\right)\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\\ & =& \left(-\mathrm{0,2}{x}^2+2x+\mathrm{2,2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;30\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,2}{x}^2+2x+\mathrm{2,2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime$ sur $\left[0;30\right]$ puis dresser le tableau des variations de f sur $\left[0;30\right]$.

   Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$, on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $P\left(x\right)=-\mathrm{0,2}{x}^2+2x+\mathrm{2,2}$ sur l'intervalle $\left[0;30\right]$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=2^2-4\times \left(-\mathrm{0,2}\right)\times \mathrm{2,2}=\mathrm{5,76}={\mathrm{2,4}}^2$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-2-\mathrm{2,4}}{-\mathrm{0,4}}}=11& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-2+\mathrm{2,4}}{-\mathrm{0,4}}}=-1\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;30\right]$ :

   x	0		11		30
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$-11$		$110{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,2}}$		$889{\mathrm{e}}^{-6}$

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3. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $\left[0;11\right]$ puis donner une valeur approchée de α à ${10}^{-2}$ près.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(x^2-11\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}=0& \iff & x^2-11=0\\ & \iff & x=-\sqrt{11}\text{ou}x=\sqrt{11}\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;11\right]$, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha =\sqrt{11}\approx \mathrm{3,32}$.

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4. En utilisant sans le démontrer un résultat du logiciel, calculer la valeur exacte puis l'arrondi à ${10}^{-2}$ de l'intégrale : $I={\displaystyle {\int }_{10}^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   D'après le résultat obtenu à la ligne 3 du logiciel de calcul formel, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $\left[0;30\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-5x^2-50x-195\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$. On en déduit que :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{10}^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(20\right)-F\left(10\right)\\ & =& \left(\left(-2000-1000-195\right)\times {\mathrm{e}}^{-4}\right)-\left(\left(-500-500-195\right)\times {\mathrm{e}}^{-2}\right)\\ & =& -3195{\mathrm{e}}^{-4}+1195{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

   Ainsi, $I={\displaystyle {\int }_{10}^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=1195{\mathrm{e}}^{-2}-3195{\mathrm{e}}^{-4}\approx \mathrm{103,21}$.

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partie c — Application économique

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à ${10}^{-2}$ si nécessaire.

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $\left[5;30\right]$ par la fonction f étudiée dans la partie B.
Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 15 euros.

   $$f\left(15\right)=\left(225-11\right)\times {\mathrm{e}}^{-3}=214{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{10,65}$$

   Lorsque le prix unitaire est fixé à 15 euros, la demande, arrondie au millier près, est de 1 065 000 objets.

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2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets, lorsque le prix unitaire varie entre 10 et 20 euros.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[10;20\right]$ est : $$m={\displaystyle \frac{1}{20-10}}\times {\displaystyle {\int }_{10}^{20}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1195{\mathrm{e}}^{-2}-3195{\mathrm{e}}^{-4}}{10}}\approx \mathrm{10,32}$$

   Lorsque le prix unitaire varie entre 10 et 20 euros, la demande moyenne, arrondie au millier près, est de 1 032 000 objets.

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3. L'élasticité $E\left(x\right)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % du prix. On admet qu'une bonne approximation de $E\left(x\right)$ est donnée par :$$E\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}\times x\text{lorsque}x\in \left[5;30\right]$$Calculer $E\left(15\right)$ et interpréter le résultat.

   $f\prime \left(15\right)=\left(-45+30+\mathrm{2,2}\right)\times {\mathrm{e}}^{-3}=-\mathrm{12,8}{\mathrm{e}}^{-3}$. D'où $$E\left(15\right)={\displaystyle \frac{-\mathrm{12,8}{\mathrm{e}}^{-3}}{214{\mathrm{e}}^{-3}}}\times 15=-{\displaystyle \frac{96}{107}}\approx -\mathrm{0,9}$$

   Si on augmente le prix de 15 euros de 1 %, la demande va diminuer d'environ 0,9 %.

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