sujet : Asie 2019

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultat seront arrondis au centième.

partie a

1. L'arbre de probabilité est donné en annexe 1. Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.

2. Déterminer la probabilité $p\left(M\cap G\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(M\cap G\right)=p_M\left(G\right)\times p\left(M\right)& \text{soit}& p\left(M\cap G\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,24}\end{array}$$

   $p\left(M\cap G\right)=\mathrm{0,24}$.

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3. 1. Démontrer que $p\left(F\cap G\right)=\mathrm{0,07}$.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(G\right)=p\left(F\cap G\right)+p\left(M\cap G\right)+p\left(E\cap G\right)$$ d'où $$p\left(F\cap G\right)=p\left(G\right)-p\left(M\cap G\right)-p\left(E\cap G\right)$$

      Or $p\left(G\right)=\mathrm{0,58}$ et $$\begin{array}{ccc}p\left(E\cap G\right)=p_E\left(G\right)\times p\left(E\right)& \text{soit}& p\left(E\cap G\right)=\mathrm{0,54}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,27}\end{array}$$

      On en déduit donc que $$p\left(F\cap G\right)=\mathrm{0,58}-\mathrm{0,24}-\mathrm{0,27}=\mathrm{0,07}$$

      $p\left(F\cap G\right)=\mathrm{0,07}$.

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   2. En déduire $p_F\left(G\right)$.

      $$\begin{array}{ccc}{p}_F\left(G\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap G\right)}{p\left(F\right)}}& \text{soit}& p_F\left(G\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}}{\mathrm{0,1}}}=\mathrm{0,7}\end{array}$$

      $p_F\left(G\right)=\mathrm{0,7}$.

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      Nous pouvons compléter l'arbre :

   3. La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est 0,47. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine ?

      La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match quand Claire assiste au match est égale à 0,7. Par conséquent, la présence de Claire semble favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine.

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4. Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe du club. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_G\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap G\right)}{p\left(G\right)}}& \text{soit}& p_G\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}}{\mathrm{0,58}}}\approx \mathrm{0,12}\end{array}$$

   La probabilité que Claire ait suivi le match d'une équipe adulte féminine sachant qu'elle a assisté à la victoire d'une équipe du club est d'environ 0,12.

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partie b

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d'attente en minute par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =30$ et d'écart-type $\sigma =10$.

1. En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?

   X suit la loi normale d'espérance $\mu =30$ donc en moyenne, un supporter attendra 30 minutes au guichet.

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2. Le supporter ne dispose que de 15 minutes avant le début du match pour acheter son billet.
   Quelle est la probabilité qu'il puisse acheter son billet avant le début du match ?

   $$\begin{array}{rcl}p\left(X⩽15\right)& =& p\left(X⩽30\right)-p\left(15<X⩽30\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-p\left(15<X⩽30\right)\\ & \approx & \mathrm{0,07}\end{array}$$

   La probabilité que ce supporter puisse acheter son billet avant le début du match est d'environ 0,12.

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partie c

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu'un enfant se réinscrive d'une année sur l'autre dans le même club de football est 0,6.

1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre pour un échantillon de 75 enfants pris au hasard dans le même club de football.

   On a $n=75$, $n\times p=75\times \mathrm{0,6}=45$ et $n\times \left(1-p\right)=75\times \mathrm{0,4}=30$.
   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre dans des échantillons de taille $n=75$ est : $$I=\left[\mathrm{0,6}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}}{75}}};\mathrm{0,6}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}}{75}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,48};\mathrm{0,72}\right]$$

   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion d'enfants se réinscrivant d'une année sur l'autre pour un échantillon de 75 enfants est $I=\left[\mathrm{0,48};\mathrm{0,72}\right]$.

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2. 52 des 75 enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.
   La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.

   La fréquence des enfants du club qui veulent se réinscrire en septembre 2018 est $f={\displaystyle \frac{52}{75}}\approx \mathrm{0,69}$. Donc $f\in \left[\mathrm{0,48};\mathrm{0,72}\right]$.

   La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On ne peut pas conclure que la victoire de la France a eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.

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