sujet : Asie 2019

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d'algues sur les plages de sa commune.
Au 1^er septembre 2018, il y avait 230 tonnes d'algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1^er octobre et le 1^er septembre suivant, la quantité d'algues sur ces plages augmente de 4 %.
On note $u_n$ la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1^er septembre de l'année $2018+n$. Ainsi, $u_0=230$.

1. Vérifier par le calcul que Richard disposera de 230,36 tonnes sur les plages au 1^er septembre 2019.

   $$u_1=\left(230-\mathrm{8,5}\right)\times \left(1+{\displaystyle \frac{4}{100}}\right)=\mathrm{230,36}$$

   Au 1^er septembre 2019, Richard disposera de 230,36 tonnes

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On admet que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\mathrm{1,04}{u}_n-\mathrm{8,84}$.

2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n=u_n-221$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04.
      Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-221\hfill \\ & =& \mathrm{1,04}{u}_n-\mathrm{8,84}-221\hfill \\ & =& \mathrm{1,04}{u}_n-\mathrm{229,84}\hfill \\ & =& \mathrm{1,04}\times \left(u_n-221\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,04}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{1,04}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04 et dont le premier terme $v_0=300-221=9$.

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   2. Exprimer, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme $v_0=9$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_n=9\times {\mathrm{1,04}}^n$

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   3. En déduire que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=221+9\times {\mathrm{1,04}}^n$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-221\iff u_n=v_n+221$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=221+9\times {\mathrm{1,04}}^n$.

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3. La quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour 250 tonnes ? Si oui, préciser au bout de combien d'années cette quantité sera atteinte.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}221+9\times {\mathrm{1,04}}^n>250& \iff & 9\times {\mathrm{1,04}}^n>29& \\ & \iff & {\mathrm{1,04}}^n>{\displaystyle \frac{29}{9}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,04}}^n\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{29}{9}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{1,04}\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{29}{9}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{29}{9}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,04}\right)}}& \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{29}{9}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,04}\right)}}\approx \mathrm{29,8}$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>250$ est $n=30$.

   Au bout de 30 ans, la quantité d'algues présentes sur ces plages dépassera 250 tonnes.

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partie b

1. Que représentent les variables A et B de l'algorithme ?

   A est la quantité en tonnes d'algues présente sur les plages au 1^er septembre de l'année $2018+K$ et B est la quantité en tonnes d'algues que Richard utilse au 1^er septembre de l'année $2018+K$

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2. Dans le tableau en annexe 2, on a obtenu différentes valeurs de A et B de l'algorithme. Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K=1$ et $K=2$. Arrondir les résultats au centième.

   • Pour $K=1$ on a $A=\mathrm{230,36}$ et $B=\mathrm{9,35}$

   • Pour $K=2$ on a :$$\begin{array}{ll}& A=\left(\mathrm{230,36}-\mathrm{9,35}\right)\times \mathrm{1,04}=\mathrm{229,8504}\\ \text{et}& B=\mathrm{9,35}\times \mathrm{1,1}=\mathrm{10,285}\end{array}$$

   Nous pouvons compléter les deux lignes du tableau :

   K	A	B
   	230	8,5
   1	230,36	9,35
   2	229,85	10,29

3. Que peut conclure Richard pour 2034 ?

   Dans le tableau, pour $K=16$ on a $A\approx \mathrm{29,75}$ et $B\approx \mathrm{39,06}$. Soit $A<B$

   En 2034, la quantité d'algues présente sur les plages est insuffisante pour les besoins de Richard.

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