sujet : Asie 2019

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On a représenté ci-dessous la courbe 𝒞 représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$, la tangente $T_1$ à 𝒞 au point A d'abscisse 1 et la tangente $T_2$ à 𝒞 au point B d'abscisse 2. La tangente $T_1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

1. Par lecture graphique :

   1. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

      La tangente $T_1$ au point A d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(1\right)=0$.

      ---

   2. Déterminer les éventuels points d'inflexion de 𝒞.

      La courbe 𝒞 traverse sa tangente $T_2$ donc le point B d'abscisse 2 est un point d'inflexion.

      ---

   3. Déterminer un encadrement de ${\displaystyle {\int }_6^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ par deux entiers consécutifs.

      L'intégrale ${\displaystyle {\int }_6^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=6$ et $x=8$. L'aire du domaine hachuré est comprise entre l'aire de deux rectangles d'aires respectives 4 unités d'aire et 5 unités d'aire.

      Avec la précision permise par le graphique, $4⩽{\displaystyle {\int }_6^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽5$.

      ---

2. On admet que la fonction f est définie sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ par : $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   1. Vérifier que, pour tout $x\in \left[\mathrm{0,5};12\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}$.

      La fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables. Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}$.

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   2. Déterminer le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le tableau de variations de f.
      Si nécessaire, on arrondira à 0,1 les valeurs numériques.

      Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ on a $x^2>0$ et $x-1⩾0\iff x⩾1$. Donc $f\prime \left(x\right)⩽0$ sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ et $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur $\left[1;12\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	0,5		1		12
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	$2-\ln \left(2\right)\approx \mathrm{1,3}$		1		$\approx \mathrm{2,6}$

3. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l'on pourra admettre.

   Calcul formel
   1	$\begin{array}{l}g\left(x\right):=\left(x-1\right)/x^2\\ g\left(x\right):={\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}\end{array}$
   2	$\begin{array}{l}\text{Dérivée}\left(g\left(x\right)\right)\\ {\displaystyle \frac{x^2-2x\left(x-1\right)}{x^4}}\end{array}$
   3	$\begin{array}{l}\text{Simplifier}\left(\text{Dérivée}\left(g\left(x\right)\right)\right)\\ {\displaystyle \frac{-x+2}{x^3}}\end{array}$

   Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel f est concave.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$.

   D'après le resultat obtenu par le logiciel de calcul formel, la dérivée seconde de la fonction f, est la fonction $f″$, définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{-x+2}{x^3}}$.

   Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ on a $x^3>0$ et pour tout réel x, $$-x+2⩽0\iff x⩾2$$. Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

   x	12		2		5
   $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

   ---

   Ainsi, la fonction f est concave sur l'intervalle $\left[2;12\right]$.

   ---

4. Soit F la fonction définie sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ par $F\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln \left(x\right)-x$.

   1. Vérifier que F est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$.

      La fonction F est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables : $F=uv-w$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime -w\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x+1& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ w\left(x\right)=x& \text{;}& w\prime \left(x\right)=1\end{array}$

      Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$: $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& \ln \left(x\right)+\left(x+1\right)\times \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-1\\ & =& \ln \left(x\right)+1+{\displaystyle \frac{1}{x}}-1\\ & =& \ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};12\right]$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};12\right]$.

      ---

   2. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[6;8\right]$.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[6;8\right]$ est : $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{8-6}}\times {\displaystyle {\int }_6^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[F\left(8\right)-F\left(6\right)\right]\\ m& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[\left(9\ln \left(8\right)-8\right)-\left(7\ln \left(6\right)-6\right)\right]\\ m& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(9\ln \left(8\right)-7\ln \left(6\right)-2\right)\\ m& =& \mathrm{4,5}\ln \left(8\right)-\mathrm{3,5}\ln \left(6\right)-1\end{array}$$

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[6;8\right]$ est $m=\mathrm{4,5}\ln \left(8\right)-\mathrm{3,5}\ln \left(6\right)-1$. Soit arrondi au centième près, $m\approx \mathrm{2,09}$.

      ---

      remarque

      En utilisant $\ln \left(8\right)=3\ln \left(2\right)$ et $\ln \left(6\right)=\ln \left(2\right)+\ln \left(3\right)$, une autre expression de la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[6;8\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(9\ln \left(8\right)-7\ln \left(6\right)-2\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(27\ln \left(2\right)-7\ln \left(2\right)-7\ln \left(3\right)-2\right)\\ m& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(20\ln \left(2\right)-7\ln \left(3\right)-2\right)\\ m& =& 10\ln \left(2\right)-\mathrm{3,5}\ln \left(3\right)-1\approx \mathrm{2,09}\end{array}$$

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