Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

En 2018, la France comptait environ 225 000 médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4 % des médecins cessent leur activité tandis que 8 000 nouveaux médecins s'installent.
Pour étudier l'évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite (un). Pour tout entier naturel n, le terme un représente le nombre de médecins en 2018+n, exprimé en millier.

  1. Donner u0 et calculer u1.

    En 2018, la France comptait environ 225 000 médecins actifs donc u0=225.

    u1=225×(1-4100)+8=224.

    Ainsi, u0=225 et u1=224.


  2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,96×un+8.

    Le coefficient multiplicateur associé à baisse de 4 % du nombre de médecins est :1-4100=0,96 Soit un le nombre de millier de médecins en 2018+n. Le nombre de médecins l'année suivante, exprimé en millier s'obtient à l'aide du montage suivant :

    un×0,96 ( 4 % des médecins cessent leur activité) 0,96un+8 ( 8000 nouveaux médecins s'installent ) 0,96un+8un+1

    Ainsi, pour tout entier naturel n, on a un+1=0,96×un+8.


  3. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.

    U225

    Pour N allant de 1 à 13
    U0,96×U+8
    Fin Pour

  4. On considère la suite (vn) définie par, pour tout entier naturel n : vn=un-200.

    1. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,96. Préciser son terme initial.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-200=0,96un+8-200=0,96un-192=0,96×(un-200)=0,96vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,96vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme v0=225-200=25.


    2. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme v0=25 donc pour tout entier naturel n, on a : vn=25×0,96n.


    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+200.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un-200un=vn+200 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, un=25×0,96n+200.


  5. On admet que pour tout entier naturel n : un+1-un=-0,96n.

    1. En déduire le sens de variation de la suite (un).

      Pour tout entier naturel n, 0,96n>0 d'où -0,96n<0.

      Pour tout entier naturel n, un+1-un<0 donc la suite (un) est strictement décroissante.


    2. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      La suite (un) est strictement décroissante donc selon ce modèle, d'une année sur l'autre, le nombre de médecins en activité va diminuer.


    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 25×0,96n+200<210.

      Pour tout entier naturel n, 25×0,96n+200<21025×0,96n<100,96n<0,4ln(0,96n)<ln(0,4) La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,96<ln0,4Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln0,4ln0,96ln0,96<0

      Or ln0,4ln0,9622,4 et comme n est un entier on en déduit que n23.

      Les solutions entières de l'inéquation 25×0,96n+200<210 sont les entiers naturels n23.


    2. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      À partir de 2041 le nombre de médecins en activité sera inférieur à 210 000.



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