En 2018, la France comptait environ 225 000 médecins actifs. On prévoit que chaque année, 4 % des médecins cessent leur activité tandis que 8 000 nouveaux médecins s'installent.
Pour étudier l'évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite . Pour tout entier naturel n, le terme représente le nombre de médecins en , exprimé en millier.
Donner et calculer .
En 2018, la France comptait environ 225 000 médecins actifs donc .
.
Ainsi, et .
Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : .
Le coefficient multiplicateur associé à baisse de 4 % du nombre de médecins est : Soit le nombre de millier de médecins en . Le nombre de médecins l'année suivante, exprimé en millier s'obtient à l'aide du montage suivant :
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a .
Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
Pour N allant de 1 à 13
Fin Pour
On considère la suite définie par, pour tout entier naturel n : .
Montrer que la suite est géométrique de raison 0,96. Préciser son terme initial.
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme .
Exprimer, pour tout entier naturel n, en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, on a : .
En déduire que pour tout entier naturel n, .
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, .
On admet que pour tout entier naturel n : .
En déduire le sens de variation de la suite .
Pour tout entier naturel n, d'où .
Pour tout entier naturel n, donc la suite est strictement décroissante.
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite est strictement décroissante donc selon ce modèle, d'une année sur l'autre, le nombre de médecins en activité va diminuer.
Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation .
Pour tout entier naturel n,
Or et comme n est un entier on en déduit que .
Les solutions entières de l'inéquation sont les entiers naturels .
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
À partir de 2041 le nombre de médecins en activité sera inférieur à 210 000.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.