sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Pour tous évènements E et F, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de E, $P\left(E\right)$ la probabilité de E et, si F est de probabilité non nulle, $P_F\left(E\right)$ la probabilité de E sachant F.On arrondira les résultats au millième si besoin.

partie a

1. Donner $P\left(R\right)$ et $P_A\left(R\right)$.

   • 32 % de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués d'où $P\left(R\right)=\mathrm{0,32}$.
   • 25 % de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués d'où $P_A\left(R\right)=\mathrm{0,25}$

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2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.

   53 % de ses clients ont plus de 50 ans d'où $P\left(A\right)=\mathrm{0,53}$ et $P\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,53}=\mathrm{0,47}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est 0,1325.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap R\right)=P_A\left(R\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,53}=\mathrm{0,1325}\end{array}$$

   La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est 0,1325.

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4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu'il ait plus de 50 ans ?

   $$\begin{array}{ccc}{P}_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap R\right)}{P\left(R\right)}}& \text{soit}& P_R\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1325}}{\mathrm{0,32}}}\approx \mathrm{0,414}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client intéressé par des placements dits risqués ait plus de 50 ans est 0,414.

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5. Calculer $P\left(\overline{A}\cap R\right)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}\left(R\right)$. Interpréter les deux résultats obtenus.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}P\left(R\right)=P\left(A\cap R\right)+P\left(\overline{A}\cap R\right)& \text{d'où}& P\left(\overline{A}\cap R\right)=P\left(R\right)-P\left(A\cap R\right)\\ & \text{soit}& P\left(\overline{A}\cap R\right)=\mathrm{0,32}-\mathrm{0,1325}=\mathrm{0,1875}\end{array}$$

   $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{A}}\left(R\right)={\displaystyle \frac{P\left(\overline{A}\cap R\right)}{P\left(\overline{A}\right)}}& \text{soit}& P_{\overline{A}}\left(R\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1875}}{\mathrm{0,47}}}\approx \mathrm{0,399}\end{array}$$

   • $P\left(\overline{A}\cap R\right)=\mathrm{0,1875}$ : 18,75 % des clients ont moins de 50 ans et sont intéressés par des placements dits risqués.
   • $P_{\overline{A}}\left(R\right)\approx \mathrm{0,399}$ : environ 39,9 % des clients de moins de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

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partie b

L'une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de 150 € s'ils convainquent au moins 10 clients d'effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de 150 € s'ils convainquent au moins 15 clients d'effectuer ce placement en un mois.
L'une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit 45 clients ce mois-ci.

1. On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l'un de ses clients est de 0,23 et que la décision d'un client est indépendante de celles des autres clients.

   1. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de 10 clients exactement ce mois-ci.

      Soit X la variable aléatoire qui, à 45 clients, associe le nombre de clients qui effectuent un placement $R_1$.

      Comme la probabilité que Camille réussisse à placer le produit auprès de l'un de ses clients est de 0,23 et que la décision d'un client est indépendante de celles des autres clients alors, X suit la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=\mathrm{0,23}$.

      À l'aide de la calculatrice, $P\left(X=10\right)=\left(\begin{array}{c}45\\ 10\end{array}\right)\times {\mathrm{0,23}}^{10}\times {\left(1-\mathrm{0,23}\right)}^{35}\approx \mathrm{0,141}$.

      Arrondie à ${10}^{-3}$ près, la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de 10 clients exactement est 0,141.

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   2. Calculer la probabilité que Camille ait 300 € de prime.

      L'évènement « convaincre au moins 15 clients » est l'évènement contraire de l'évènement « moins de 14 clients n'ont pas été convaincus ». À l'aide de la calculatrice, on a : $$$ P\left(X⩾15\right)=1-P\left(X⩽14\right)\approx \mathrm{0,075}$.$$

      Arrondie à ${10}^{-3}$ près, la probabilité que Camille ait 300 € de prime est 0,075.

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   3. Montrer que la probabilité que Camille ait 150 € exactement de prime est environ de 0,532.

      Camille a 150 € exactement de prime quand elle place le produit $R_1$ auprès de 10 à 14 clients. À l'aide de la calculatrice, on a : $$$ P\left(10⩽X⩽14\right)=P\left(X⩽14\right)-P\left(X⩽9\right)\approx \mathrm{0,532}$.$$

      La probabilité que Camille ait 150 € exactement de prime est environ de 0,532.

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2. Le placement $R_1$ a rapporté 30 % d'intérêt sur les 5 dernières années. Calculer le taux d'intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces 5 dernières années.

   Soit t % le taux d'intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces 5 dernières années. t est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^5=1+{\displaystyle \frac{30}{100}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{1,3}}^{\frac{1}{5}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{1,3}}^{\mathrm{0,2}}-1\\ & \iff & t=\left({\mathrm{1,3}}^{\mathrm{0,2}}-1\right)\times 100\approx \mathrm{5,387}\end{array}$$

   Le taux d'intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces 5 dernières années est d'environ 5,4 %.