sujet : France Métropolitaine, La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note X la variable aléatoire égale au taux d'hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que X suit une loi normale d'espérance $\mu =12$.
   Pour tout évènement A, on note $P\left(A\right)$ sa probabilité.

   Affirmation A :$P\left(X>14\right)=P\left(X<11\right)$.

   X suit une loi normale d'espérance $\mu =12$ d'où, pour tout réel a, $P\left(X>12+a\right)=P\left(X<12-a\right)$ soit $P\left(X>14\right)=P\left(X<10\right)$

   L'affirmation A est fausse.

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2. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}x}+1$.

   Affirmation B : La valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est égale à 3,6, arrondie au dixième.

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{\mathrm{0,3}}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}x}+x=x-{\displaystyle \frac{50}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,3}x}$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est : $$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{5-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(F\left(5\right)-F\left(0\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{5}}\times \left(5-{\displaystyle \frac{50}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}-\left(-{\displaystyle \frac{50}{3}}\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{13-10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}}{3}}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;3\right]$ est $m={\displaystyle \frac{13-10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}}}{3}}$. Soit arrondie au dixième près, $m\approx \mathrm{3,6}$.

   L'affirmation B est vraie.

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3. Un comité d'entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu'un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge 180 employés au hasard, parmi lesquels 72 se déclarent intéressés.

   Affirmation C : Ce sondage remet en question l'affirmation du directeur.

   On a $n=180$, $n\times p=180\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=60$ et $n\times \left(1-p\right)=180\times \times {\displaystyle \frac{2}{3}}=120$.

   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion des employés intéressés par une telle salle dans des échantillons de taille $n=180$ est : $$I=\left[{\displaystyle \frac{1}{3}}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}}{180}}};{\displaystyle \frac{1}{3}}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}}{180}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,264};\mathrm{0,403}\right]$$

   La fréquence des employés intéressés par une telle salle dans l'échantillon de taille 180 est $f={\displaystyle \frac{72}{180}}=\mathrm{0,4}$. Donc $f\in \left[\mathrm{0,264};\mathrm{0,403}\right]$.

   Ce sondage ne permet pas de remettre en cause l'affirmation du directeur.

   L'affirmation C est fausse.

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4. Soit f une fonction définie et dérivable sur $ℝ$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
   Soit F une primitive de f sur $ℝ$.

   Affirmation D : La fonction F est convexe sur $\left[1;3\right]$.

   La convexité de la fonction F se déduit des variations de sa dérivée f.

   Par lecture graphique, sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ la fonction f est décroissante donc la fonction F est concave sur l'intervalle $\left[1;3\right]$.

   L'affirmation D est fausse.

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5. Soit f la fonction définie sur $\left[0;1\right]$ par $f\left(x\right)=3x^2-4x+2$.

   Affirmation E :f est une fonction de densité sur $\left[0;1\right]$.

   Vérifions si la fonction f est une fonction de densité de probabilité sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ :

   • f est une fonction polynôme du second degré sur $\left[0;1\right]$ donc f est continue.
   • Le minimum de la fonction f est $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ donc sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est positive.
   • Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur sur $\left[0;1\right]$ par $F\left(x\right)=x^3-2x^2+2x$ d'où $${\displaystyle {\int }_0^1}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(1\right)-F\left(0\right)=1$$

   Ainsi, f est une fonction de densité de probabilité sur $\left[0;1\right]$.

   L'affirmation E est vraie.

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