contrôles en première ES

contrôle du 22 mars 2008

Corrigé de l'exercice 3

Une entreprise fabrique un produit dont le coût de production mensuel en euros est modélisé par : $C (x) = 0,02 x^{2} + 37,5 x + 3000$ où x est le nombre d'unités produites mensuellement et x dans l'intervalle $] 0; 1300]$ .
Pour éviter de se retrouver avec un stock important, l'entreprise ajuste son prix de vente en fonction de la quantité produite. Le prix de vente unitaire en euros en fonction de x, est $P (x) = 100 - 0,03 x$ .
On suppose que l'ajustement du prix de vente unitaire permet d'écouler toute la production et on note $R (x)$ la recette mensuelle générée par la production et la vente de x produits.
On cherche à déterminer la quantité que l'entreprise devrait produire mensuellement pour maximiser son profit.

Montrer que le bénéfice B est donné par $B (x) = - 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000$ .
Sur l'intervalle $] 0; 1300]$ , $B (x) = R (x) - C (x)$ .
Sachant que le montant de la recette est égal au produit du nombre d'articles vendus par le prix de vente unitaire, on en déduit : $R (x) = x (100 - 0,03 x)$
Donc $\begin{array}{l} B (x) & = & x (100 - 0,03 x) - (0,02 x^{2} + 37,5 x + 3000) \\ = & 100 x - 0,03 x^{2} - 0,02 x^{2} - 37,5 x - 3000 \\ = & - 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000 \end{array}$
Le bénéfice est la fonction B définie sur $] 0; 1300]$ par $B (x) = - 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000$ .
Déterminer graphiquement puis par le calcul, les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un profit.
Graphiquement, l'entreprise réalise un profit pour les abscisses des points de la courbe recette situés au dessus la courbe coût. Soit pour $x \in] 50; 1200 [$ .
L'entreprise réalise un profit pour x solution de l'inéquation : $\begin{array}{l} B (x) > 0 & \Leftrightarrow & - 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000 > 0 \end{array}$
Le polynôme du second degré $- 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000$ avec $a = - 0,05$ , $b = 62,5$ et $c = - 3000$ est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $\begin{matrix} Δ = {62,5}^{2} - 4 \times (- 0,05) \times (- 3000) = 3306,25 & donc & \sqrt{Δ} = 57,5 \end{matrix}$
$Δ > 0$ donc le trinôme a deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \\ Soit & x_{1} = \frac{- 62,5 - 57,5}{- 0,1} = 1200 & et & x_{2} = \frac{- 62,5 + 57,5}{- 0,1} = 50 \end{array}$
D'où le tableau du signe du polynôme $- 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000$ sur l'intervalle $] 0; 1300]$
x 0 50 1200 1300
Signe de $B (x)$
− $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
L'entreprise réalise un profit pour toute production x de l'intervalle $] 50; 1200 [$ .
Étudier les variations de la fonction B. En déduire la quantité x que l'entreprise doit produire mensuellement pour maximiser son profit. Quel est le montant du profit maximum ?
Les variations de la fonction B se déduisent des variations de la fonction polynôme du second degré $f : x \mapsto - 0,05 x^{2} + 62,5 x - 3000$ sur l'intervalle $] 0; 1300]$ . Comme le coefficient $a < 0$ , alors cette fonction admet un maximum atteint pour $\begin{array}{l} x = - \frac{b}{2 a} & Soit pour & x = - \frac{62,5}{- 0,1} = 625 \end{array}$
D'autre part, $\begin{array}{l} B (625) & = & - 0,05 \times 625^{2} + 62,5 \times 625 - 3000 \\ = & 16531,25 \end{array}$
Tableau de variation de la fonction B :
x 0 625 1300
Variations de B
16531,25
Pour une production de 625 articles, le bénéfice maximum est de 16 531,25 €.

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x	0		50		1200		1300
Signe de $B (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−

x	0		625		1300
Variations de B			16531,25