contrôle du 10 decembre 2007

Corrigé de l'exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$ on considère les points $A\left(2;-1;3\right)$, $B\left(3;2;1\right)$, $C\left(-2;3;1\right)$ et $D\left(6;3;0\right)$.

1. Les points A, B et C déterminent-ils un plan ?

   Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

   $$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left(1;3;-2\right)\\ \overrightarrow{AC}\left(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AC}\left(-4;4;-2\right)\end{array}$$

   Il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

   Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.

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2. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment $\left[BC\right]$.

   Les coordonnées du point I milieu du segment $\left[BC\right]$ sont $$\begin{array}{lll}I\left({\displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}};{\displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}};{\displaystyle \frac{z_B+z_C}{2}}\right)& \text{soit}& I\left({\displaystyle \frac{3-2}{2}};{\displaystyle \frac{2+3}{2}};{\displaystyle \frac{1+1}{2}}\right)\end{array}$$

   Les coordonnées du point I sont $I\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}};1\right)$

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3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

   Pour déterminer si les points A, B, C et D sont dans un même plan, on cherche s'il existe deux réels a et b tels que $$\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$$

   Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AD}\left(x_D-x_A;y_D-y_A;z_D-z_A\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AD}\left(4;4;-3\right)\end{array}$$

   a et b sont solutions de : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rrr}a-4b& =& 4\\ 3a+4b& =& 4\\ -2a-2b& =& -3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a-4b& =& 4\\ 4a& =& 8\\ -2a-2b& =& -3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}b& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ a& =& 2\\ -2a-2b& =& -3\end{array}\end{array}$$

   Comme $-2\times 2-2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=-3$, nous avons :$$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.

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