contrôles en première ES spécialité

contrôle du 10 decembre 2007

Corrigé de l'exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;𝚤,ȷ,k). On considère les points A(2;-1;3), B(-2;3;1), C(-2;0;4), D(9;-5;8) et E(8;-7;6).

  1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

    Calculons les coordonnées des vecteurs AB et AC :

    AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA)soitAB(-4;4;-2)AC(xC-xA;yC-yA;zC-zA)soitAC(-4;1;1)

    Il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC donc les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.

    Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.


  2. Les points A, B et E sont-ils alignés ?

    Calculons les coordonnées du vecteur AE :AE(xE-xA;yE-yA;zE-zA)soitAE(6;-6;3)

    Or -46=4-6=-23 donc AB=-23AE

    Les vecteurs AB et AE sont colinéaires donc les points A, B et E sont alignés.


  3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonaux.

    Dans un repère orthonormé (O;𝚤,ȷ,k), les vecteurs u(x;y;z) et v(x';y';z') sont orthogonaux si et seulement si : xx'+yy'+zz'=0

    Calculons les coordonnées du vecteur ED :ED(xD-xE;yD-yE;zD-zE)soitED(-1;-2;-2)

    Nous avons -4×(-1)+4×(-2)+(-2)×(-2)=4-8+4=0

    Ainsi, dans le repère orthonormé (O;𝚤,ȷ,k), les coordonnées des vecteurs AB et ED vérifient la relation xx'+yy'+zz'=0.

    Les vecteurs AB et ED sont orthogonaux.


  4. Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC).

    Montrons que les vecteurs AC(-4;1;1) et ED(-1;-2;-2) sont orthogonaux. Nous avons -4×(-1)+1×(-2)+1×(-2)=4-2-2=0

    Ainsi, dans le repère orthonormé (O;𝚤,ȷ,k), les coordonnées des vecteurs AC et ED vérifient la relation xx'+yy'+zz'=0 donc les vecteurs AC et ED sont orthogonaux.

    Le vecteur ED est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) donc la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC).



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