L'espace est rapporté à un repère orthonormé . On considère les points , , , et .
Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
Calculons les coordonnées des vecteurs et :
Il n'existe pas de réel k tel que donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.
Les points A, B et E sont-ils alignés ?
Calculons les coordonnées du vecteur :
Or donc
Les vecteurs et sont colinéaires donc les points A, B et E sont alignés.
Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux.
Dans un repère orthonormé , les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si :
Calculons les coordonnées du vecteur :
Nous avons
Ainsi, dans le repère orthonormé , les coordonnées des vecteurs et vérifient la relation .
Les vecteurs et sont orthogonaux.
Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC).
Montrons que les vecteurs et sont orthogonaux. Nous avons
Ainsi, dans le repère orthonormé , les coordonnées des vecteurs et vérifient la relation donc les vecteurs et sont orthogonaux.
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) donc la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC).
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