contrôles en première ES spécialité

contrôle du 20 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère (O;ı,ȷ,k) on considère les points A-167,5 et B-289

  1. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l'axe (Oz) et passant par les points A et B.

    Le plan P est parallèle à l'axe (Oz) son équation cartésienne est de la forme : ax+by=d

    • Le point A-167,5 appartient au plan P alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où -a+6b=d

    • Le point B-289 appartient au plan P alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où -2a+8b=d

    a et b sont solutions du système :{-a+6b=d-2a+8b=d{-a+6b=d4b=d{a=d2b=d4

    Une équation cartésienne du plan P est de la forme : d2x+d4y=d

    Si on attribue par exemple à d la valeur 4 on obtient :

    Le plan P a pour équation : 2x+y=4.


  2. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l'axe (Oy) et passant par les points A et B.

    Le plan Q est parallèle à l'axe (Oy) son équation cartésienne est de la forme : ax+cz=d

    • Le point A-167,5 appartient au plan Q alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où -a+7,5c=d

    • Le point B-289 appartient au plan Q alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où -2a+9c=d

    a et c sont solutions du système :{-a+7,5c=d-2a+9c=d{-a+7,5c=d6c=d{a=d4c=d6

    Une équation cartésienne du plan Q est : d4x+d6z=d

    Si on attribue par exemple à d la valeur 12 on obtient :

    Le plan Q a pour équation : 3x+2z=12.


  3. Soit d la droite caractérisée par le système :{2x+y=43x+2z=12 Les points A et B sont-ils sur la droite d ?

    La droite d est la droite d'intersection des plans P et Q. Or les plans P et Q passent par les points A et B.

    Donc les points A et B sont sur la droite d.


  4. Représenter les plans P et Q par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite (AB).

    m200 est le point d'intersection du plan P avec l'axe (Ox). n040 est le point d'intersection du plan P avec l'axe (Oy).

    r400 est le point d'intersection du plan Q avec l'axe (Ox). s006 est le point d'intersection du plan Q avec l'axe (Oz).

    La parallèle à (Oz) passant par m est l'intersection du plan P avec le plan (xOz). La droite (rs) est l'intersection du plan Q avec le plan (xOz). I est donc un point d'intersection des plans P et Q.

    La parallèle à (Oz) passant par n est l'intersection du plan P avec le plan (yOz). La parallèle à (Oy) passant par s est l'intersection du plan Q avec le plan (yOz). J est donc un point d'intersection des plans P et Q.

    La droite (IJ) est la droite d intersection des plans P et Q.

    Droite d'intersection des deux plans : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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