contrôles en première ES spécialité

contrôle du 20 janvier 2008

Corrigé de l'exercice 2

Dans l'espace muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{ȷ}, \vec{k})$ on considère les points $A (- 1; 6; 7,5)$ et $B (- 2; 8; 9)$

Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l'axe (Oz) et passant par les points A et B.
Le plan P est parallèle à l'axe (Oz) son équation cartésienne est de la forme : $a x + b y = d$
- Le point $A (- 1; 6; 7,5)$ appartient au plan P alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $- a + 6 b = d$
- Le point $B (- 2; 8; 9)$ appartient au plan P alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $- 2 a + 8 b = d$
a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} - a + 6 b & = & d \\ - 2 a + 8 b & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} - a + 6 b & = & d \\ 4 b & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & \frac{d}{2} \\ b & = & \frac{d}{4} \end{array} \end{matrix}$
Une équation cartésienne du plan P est de la forme : $\frac{d}{2} x + \frac{d}{4} y = d$
Si on attribue par exemple à d la valeur 4 on obtient :
Le plan P a pour équation : $2 x + y = 4$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l'axe (Oy) et passant par les points A et B.
Le plan Q est parallèle à l'axe (Oy) son équation cartésienne est de la forme : $a x + c z = d$
- Le point $A (- 1; 6; 7,5)$ appartient au plan Q alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $- a + 7,5 c = d$
- Le point $B (- 2; 8; 9)$ appartient au plan Q alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $- 2 a + 9 c = d$
a et c sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} - a + 7,5 c & = & d \\ - 2 a + 9 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} - a + 7,5 c & = & d \\ 6 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & \frac{d}{4} \\ c & = & \frac{d}{6} \end{array} \end{matrix}$
Une équation cartésienne du plan Q est : $\frac{d}{4} x + \frac{d}{6} z = d$
Si on attribue par exemple à d la valeur 12 on obtient :
Le plan Q a pour équation : $3 x + 2 z = 12$ .
Soit d la droite caractérisée par le système : ${\begin{array}{lcr} 2 x + y & = & 4 \\ 3 x + 2 z & = & 12 \end{array}$ Les points A et B sont-ils sur la droite d ?
La droite d est la droite d'intersection des plans P et Q. Or les plans P et Q passent par les points A et B.
Donc les points A et B sont sur la droite d.
Représenter les plans P et Q par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite (AB).
$m (2; 0; 0)$ est le point d'intersection du plan P avec l'axe (Ox). $n (0; 4; 0)$ est le point d'intersection du plan P avec l'axe (Oy).
$r (4; 0; 0)$ est le point d'intersection du plan Q avec l'axe (Ox). $s (0; 0; 6)$ est le point d'intersection du plan Q avec l'axe (Oz).
La parallèle à (Oz) passant par m est l'intersection du plan P avec le plan (xOz). La droite (rs) est l'intersection du plan Q avec le plan (xOz). I est donc un point d'intersection des plans P et Q.
La parallèle à (Oz) passant par n est l'intersection du plan P avec le plan (yOz). La parallèle à (Oy) passant par s est l'intersection du plan Q avec le plan (yOz). J est donc un point d'intersection des plans P et Q.
La droite (IJ) est la droite d intersection des plans P et Q.

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