contrôle du 15 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{x}^2-x-1}{x+2}}$.

1. Calculer $f\left(-1\right)$, $f\left(4\right)$ et $f\left(8\right)$.

   • $\begin{array}{ccccc}f\left(-1\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\times {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-1}{\left(-1\right)+2}}& =& \mathrm{0,5}\end{array}$

   • $\begin{array}{ccccc}f\left(4\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\times 4^2-4-1}{4+2}}& =& \mathrm{0,5}\end{array}$

   • $\begin{array}{ccccc}f\left(8\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\times 8^2-8-1}{8+2}}& =& \mathrm{2,3}\end{array}$

   Ainsi, $f\left(-1\right)=\mathrm{0,5}$, $f\left(4\right)=\mathrm{0,5}$ et $f\left(8\right)=\mathrm{2,3}$

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2. Déterminer les réels a, b et c tels que $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x+2}}$.

   Pour tout réel $x\ne -2$, $$\begin{array}{lll}ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x+2}}& =& {\displaystyle \frac{\left(ax+b\right)\left(x+2\right)+c}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^2+2ax+bx+2b+c}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a{x}^2+\left(2a+b\right)x+\left(2b+c\right)}{x+2}}\end{array}$$

   Par idendification à $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}{x}^2-x-1}{x+2}}$ ; a, b et c sont solutions du système :

   $$\begin{array}{llll}\{\begin{array}{rcl}a& =& \mathrm{0,5}\\ 2a+b& =& -1\\ 2b+c& =& -1\end{array}& \begin{array}{l}\text{terme en }{x}^2\\ \text{terme en }x\\ \text{terme constant}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lll}a& =& \mathrm{0,5}\\ b& =& -2\\ c& =& 3\end{array}\end{array}$$

   Ainsi sur $\left]-2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-2+{\displaystyle \frac{3}{x+2}}$

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3. Soit u la fonction affine telle que $u\left(-2\right)=-3$ et $u\left(8\right)=2$. La courbe tracée ci-dessous, représente la fonction v définie sur $\left]-2;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x+2}}$.

   1. Tracer dans le même repère, la courbe représentative de la fonction u.

      u est une fonction affine telle que $u\left(-2\right)=-3$ et $u\left(8\right)=2$ :

      Sa courbe représentative est donc la droite passant par les points de coordonnées $\left(-2;-3\right)$ et $\left(8;2\right)$.

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   2. Tracer dans le repère précédent, la courbe représentative de la somme des deux fonctions $u+v$.

   3. Déterminer une expression de la fonction u en fonction de x.

      u est une fonction affine alors pour tout réel x, $u\left(x\right)=ax+b$ avec : $$\begin{array}{lll}a& =& {\displaystyle \frac{u\left(8\right)-u\left(-2\right)}{8-\left(-2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-\left(-3\right)}{8+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Donc $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Or $u\left(-2\right)=-3$ d'où b est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-2\right)+b=-3& \iff & b=-3+1\\ & \iff & b=-2\end{array}$$

      Ainsi, u est la fonction définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-2$

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4. Vérifier que sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$.

   D'après les questions précédentes, sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)& =& \mathrm{0,5}x-2+{\displaystyle \frac{3}{x+2}}& =& u\left(x\right)+v\left(x\right)\end{array}$$

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   1. En déduire graphiquement le tableau des variations de la fonction f.

      D'après la courbe tracée dans la question 3b, le tableau des variations de la fonction f est :

      x	$-2$				$x_0$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$

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   2. Déterminer graphiquement, un encadrement d'amplitude 1 de la valeur $x_0$ de x pour laquelle f admet un minimum.

      Graphiquement, la fonction f admet un minimum pour $x_0\in \left]0;1\right[$

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