contrôle du 15 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. Représenter graphiquement, le système d'inéquations suivant $\left(S\right)\{\begin{array}{ccc}2x-y& ⩾& 0\\ x+2y& ⩽& 15\\ -x+8y& ⩾& 15\end{array}$.

   $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{ccc}2x-y& ⩾& 0\\ x+2y& ⩽& 15\\ -x+8y& ⩾& 15\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lll}-y& ⩾& -2x\\ 2y& ⩽& -x+15\\ 8y& ⩾& x+15\end{array}& \iff & \{\begin{array}{lll}y& ⩽& 2x\\ y& ⩽& -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{2}}\\ y& ⩾& {\displaystyle \frac{1}{8}}x+{\displaystyle \frac{15}{8}}\end{array}\end{array}$$

   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩽2x$ sont dans le demi-plan situé en dessous de la droite $d_1$ d'équation $y=2x$

   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{2}}$ sont dans le demi-plan situé en dessous de la droite $d_2$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{15}{2}}$

   • L'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan dont les coordonnées vérifient $y⩾{\displaystyle \frac{1}{8}}x+{\displaystyle \frac{15}{8}}$ sont dans le demi-plan situé au dessus de la droite $d_3$ d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{8}}x+{\displaystyle \frac{15}{8}}$

   Graphiquement, l'ensemble solution du système $\left(S\right)\{\begin{array}{ccc}2x-y& ⩾& 0\\ x+2y& ⩽& 15\\ -x+8y& ⩾& 15\end{array}$, est l'ensemble des coordonnées des points $M\left(x;y\right)$ situés à l'intérieur du triangle colorié ABC, frontières comprises.

2. Une entreprise fabrique et vend deux produits A et B. (S) est le système d'inéquations traduisant les contraintes de fabrication où x désigne le nombre d'articles A et y le nombre d'articles B produits (x et y sont des entiers).
   Le prix de vente d'un article A est de 200 € et celui d'un article B est de 300 €.

   1. Exprimer en fonction de x et y le montant R (en euros) de la recette obtenue pour la vente de x articles A et y articles B.

      Le prix de vente d'un article A est de 200 € et celui d'un article B est de 300 € d'où $R=200x+300y$

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   2. Déterminer graphiquement le nombre d'articles A et le nombre d'articles B qu'il faut vendre pour obtenir une recette de 2100 €.

      Si la recette est de 2100 € alors x et y vérifient : $$200x+300y=2100\iff y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+7$$

      Les couples $\left(x;y\right)$ à coordonnées entières de la droite D d'équation $y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+7$, situés dans la zone d'acceptabilité représentent les productions possibles pour obtenir une recette de 2100 €.

      Graphiquement, il n'y a que deux types de production qui permettent d'obtenir une recette de 2100 euros € 3 articles A et 5 articles B ou 6 articles A et 3 articles B.

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   3. Déterminer graphiquement la recette minimale et la recette maximale que cette entreprise peut espérer obtenir.

      La recette obtenue pour la vente de x articles A et y articles B est $R=200x+300y$ . À chaque valeur de R correspond une droite Δ d'équation : $$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{R}{300}}$$

      Ces droites Δ ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles entre elles et coupent l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;{\displaystyle \frac{R}{300}}\right)$.

      • Pour obtenir graphiquement un couple de production $\left(x_0;y_0\right)$ pour lequel la recette est minimale, on cherche la droite parallèle à la droite $D_{2100}$, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la zone d'acceptabilité et dont l'ordonnée à l'origine est la plus petite. Il s'agit de la droite passant par le point $B\left(1;2\right)$.
        Soit une recette minimale d'un montant de : $$1\times 200+2\times 300=800$$

      • Pour obtenir graphiquement un couple de production $\left(x_1;y_1\right)$ pour lequel la recette est maximale, on cherche la droite parallèle à la droite $D_{2100}$, qui contient au moins un point à coordonnées entières de la zone d'acceptabilité et dont l'ordonnée à l'origine est la plus grande. Il s'agit de la droite passant par le point $C\left(9;3\right)$.
        Soit une recette maximale d'un montant de : $$9\times 200+3\times 300=2700$$

      L'entreprise peut espérer obtenir une recette comprise entre 800 et 2700 euros.

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