contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ :

1. L'équation $2x^2=3-x$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}2x^2=3-x& \iff & 2x^2+x-3=0\end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2+x-3=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1^2-4\times 2\times \left(-3\right)=25\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-1-5}{2\times 2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-1+5}{2\times 2}}=1\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{3}{2}};1\right\}$

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2. L'inéquation $-12x^2-x+6⩽0$.

   Cherchons les racines du polynôme du second degré $-12x^2-x+6$ avec $a=-12$, $b=-1$ et $c=6$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times \left(-12\right)\times 6=289\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-17}{2\times \left(-12\right)}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+17}{2\times \left(-12\right)}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $-12x^2-x+6$

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{4}}$		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
   $-12x^2-x+6$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble des solutions de l'inéquation $-12x^2-x+6$ est $S=\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$ .

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