contrôles en première ES

contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 2

  1. Soit P la parabole d'équation y=ax2+bx+c passant par les points : A(-2;4), B(2;-1) et C(6;2). À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l'équation de la parabole.

    M(x;y) est un point de la parabole si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole :

    • A(-2;4) est un point de la parabole donc ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où (-2)2×a+(-2)×b+c=44a-2b+c=4 ;
    • B(2;-1) est un point de la parabole donc ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où 4a+2b+c=-1 ;
    • C(6;2) est un point de la parabole donc ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole d'où 36a+6b+c=2.

    Ainsi, a, b, et c sont solutions du système : {4a-2b+c=44a+2b+c=-136a+6b+c=2{4b=-58a+2c=336a+6b+c=2{b=-548a+2c=336a+c=192{b=-54-64a=-1636a+c=192{a=14b=-54c=12

    La parabole P a pour équation y=14x2-54x+12.


  2. Résoudre dans l'inéquation x2-5x+24-34x+52.

    Pour tout réel x, x2-5x+24-34x+52x2-5x+24+34x-520x2-5x+2+3x-1040x2-2x-840

    Étudions le signe du trinôme x2-2x-8 avec a=1, b=-2 et c=-8. Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=4+32=36

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=2-62=-2etx2=-b+Δ2aSoitx2=2+62=4

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de l'expression x2-2x-84 suivant les valeurs du réel x :

    x- -2 4 +

    x2-2x-84

    +0||0||+

    L'ensemble des solutions de l'inéquation x2-5x+24-34x+52 est S=[-2;4] .


  3. Soit D la droite d'équation : y=-34x+52 . Étudier les positions relatives de la droite D et de la parabole P.

    Les positions relatives de la droite D et de la parabole P se déduisent du signe de la différence (14x2-54x+12)-(-34x+52)=x2-2x-84

    D'après l'étude de la question précédente :

    • La droite D coupe la parabole P aux points d'abscisse -2 et 4.
    • Sur les intervalles ]-;-2] ou [4;+[ la parabole P est au dessus de la droite D.
    • Sur l'intervalle [-2;4] la parabole P est au dessous de la droite D.


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