contrôle du 20 janvier 2009

exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ :

1. L'équation $2x^2=3-x$.

2. L'inéquation $-12x^2-x+6⩽0$.

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exercice 2

1. Soit P la parabole d'équation $y=a{x}^2+bx+c$ passant par les points : $A\left(-2;4\right)$, $B\left(2;-1\right)$ et $C\left(6;2\right)$.
   À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l'équation de la parabole.

2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{x^2-5x+2}{4}}⩽-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

3. Soit D la droite d'équation : $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$ . Étudier les positions relatives de la droite D et de la parabole P.

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exercice 3

Le coût total de fabrication de x milliers d'articles est $C\left(x\right)=x^2+2x+\mathrm{28,75}$ (le coût est exprimé en milliers d'euros) avec $x\in \left]0;12\right]$.
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 16 €. La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de x milliers d'articles est $R\left(x\right)=16x$.

La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal.

1. Tracer dans le repère ci-dessus la courbe représentative de la fonction recette.

2. Par lecture graphique, déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice.

3. On note $B\left(x\right)$ le bénéfice réalisé, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.

   1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par $B\left(x\right)=-x^2+14x-\mathrm{28,75}$, avec $x\in \left]0;12\right]$.

   2. Étudier les variations de la fonction B sur $\left]0;12\right]$ . En déduire la quantité d'articles à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal. Quel est le montant en euros du bénéfice maximal ?

   3. Étudier le signe de $B\left(x\right)$. En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).

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