contrôles en première ES

contrôle du 20 janvier 2009

Corrigé de l'exercice 3

Le coût total de fabrication de x milliers d'articles est $C (x) = x^{2} + 2 x + 28,75$ (le coût est exprimé en milliers d'euros) avec $x \in] 0; 12]$ .
On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 16 €. La recette exprimée en milliers d'euros pour la vente de x milliers d'articles est $R (x) = 16 x$ .
La figure ci-dessous, donne la courbe représentative de la fonction coût total dans un repère orthogonal.

Tracer dans le repère ci-dessus la courbe représentative de la fonction recette.
La courbe représentative de la fonction recette est la droite d'équation $y = 16 x$ passant par l'origine du repère et le point de coordonnées $(10; 160)$ .
Par lecture graphique, déterminer la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice.
L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût total, c'est à dire lorsque la courbe recette est au dessus de la courbe coût total.
Avec la précision permise par le dessin, la production est rentable pour des quantités comprises entre 2,5 milliers et 11,5 milliers d'articles.
On note $B (x)$ le bénéfice réalisé, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.
1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par $B (x) = - x^{2} + 14 x - 28,75$ , avec $x \in] 0; 12]$ .
  Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total : $B (x) = R (x) - C (x)$
  Soit pour tout réel $x \in] 0; 12]$ , $\begin{matrix} B (x) = 16 x - (x^{2} + 2 x + 28,75) & \Leftrightarrow & B (x) = - x^{2} + 14 x - 28,75 \end{matrix}$
  Ainsi, le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par $B (x) = - x^{2} + 14 x - 28,75$ .
2. Étudier les variations de la fonction B sur $] 0; 12]$ . En déduire la quantité d'articles à produire et à vendre pour que le bénéfice soit maximal. Quel est le montant en euros du bénéfice maximal ?
  La fonction B est la restiction sur l'intervalle $] 0; 12]$ de la fonction polynôme du second degré $x \mapsto - x^{2} + 14 x - 28,75$ avec $a = - 1$ , $b = 14$ et $c = - 28,75$ .
  Comme $a < 0$ , le maximum est atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ . Soit pour $x = 7$ . Le tableau de variation de la fonction B est :
  x 0 7 12
  Variations de B
  20,25
  Exprimé en milliers d'euros, le montant du bénéfice maximal est : $B (7) = - 7^{2} + 14 \times 7 - 28,75 = 20,25$
  Le bénéfice maximal est de 20 250 € si l'entreprise produit et vend 7 000 articles.
3. Étudier le signe de $B (x)$ . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
  Le polynôme du second degré $- x^{2} + 14 x - 28,75$ avec $a = - 1$ , $b = 14$ et $c = - 28,75$ est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
  Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $\begin{matrix} Δ = 14^{2} - 4 \times 28,75 = 81 & donc & \sqrt{Δ} = 9 \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc le trinôme a deux racines : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \\ Soit & x_{1} = \frac{- 14 - 9}{- 2} = 11,5 & et & x_{2} = \frac{- 14 + 9}{- 2} = 2,5 \end{array}$
  D'où le tableau du signe de $B (x)$ en fonction de x
  x 0 2,5 11,5 12
  Signe de $B (x)$
  − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
  Ainsi, la production est rentable pour des quantités comprises entre 2 500 et 11 500 articles.

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x	0				7		12
Variations de B					20,25

x	0		2,5		11,5		12
Signe de $B (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−