contrôles en première ES spécialité

contrôle du 07 mai 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit $A = (\begin{matrix} - 3 & - 5 \\ 2 & 3 \end{matrix})$

Calculer $A^{2}$ en déduire l'inverse de la matrice A.
$\begin{matrix} A^{2} & = & (\begin{matrix} - 3 & - 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 & - 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 9 - 10 & 15 - 15 \\ - 6 + 6 & - 10 + 9 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
Ainsi, $A^{2} = - (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . D'où $- A \times A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ . Par conséquent, $- A = A^{- 1}$
$A^{2} = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ et $A^{- 1} = (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{matrix})$
Calculer $A^{3}$ et $A^{4}$ . Quel est l'inverse de la matrice $A^{2}$ ?
- $\begin{matrix} A^{3} & = & A^{2} \times A & = & - (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \times A & = & - A & = & (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{matrix}) \end{matrix}$
- $\begin{matrix} A^{4} & = & A^{3} \times A & = & - A \times A & = & (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
Or $A^{4} = A^{2} \times A^{2}$ donc $A^{2} \times A^{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$
$A^{3} = (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{matrix})$ ; $A^{4} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ donc $A^{2}$ est l'inverse de la matrice $A^{2}$ .

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