contrôle du 07 mai 2009

Corrigé de l'exercice 4

1. On note $C=\left(\begin{array}{ccc}40& 20& 80\end{array}\right)$ la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (matières premières, main d'œuvre et énergie). Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice ligne $P=\left(\begin{array}{cc}{p}_A& p_B\end{array}\right)$ des prix de revient des produits A et B.

   Soit $F=\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 4& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$ la matrice dont les éléments sont les unités de facteurs de production nécessaires à la fabrication des deux produits A et B.

   Nous avons donc $P=C\times F$. Soit $$\begin{array}{ccccccc}P& =& \left(\begin{array}{ccc}40& 20& 80\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 4& 3\\ 1& 2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}40\times 6+20\times 4+80\times 1& 40\times 9+20\times 3+80\times 2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}400& 580\end{array}\right)\end{array}$$

   La matrice ligne P des prix de revient des produits A et B est $P=\left(\begin{array}{cc}400& 580\end{array}\right)$

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2. Le bénéfice est égal à 20% du prix de revient sur le produit A et à 25% du prix de revient sur le produit B.

   1. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice ligne $V=\left(\begin{array}{cc}{v}_A& v_B\end{array}\right)$ des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices P et M.

      Le bénéfice est égal à 20% du prix de revient sur le produit A et à 25% du prix de revient sur le produit B donc $v_A=\mathrm{1,2}{p}_A$ et $v_B=\mathrm{1,25}{p}_B$ .
      D'autre part, M est la matrice carrée telle que $V=P\times M$ donc :

      $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{1,2}& 0\\ 0& \mathrm{1,25}\end{array}\right)$

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   2. Calculer V.

      $$\begin{array}{ccccccc}V& =& \left(\begin{array}{cc}400& 580\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{1,2}& 0\\ 0& \mathrm{1,25}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}400\times \mathrm{1,2}+580\times 0& 400\times 0+580\times \mathrm{1,25}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}480& 725\end{array}\right)\end{array}$$

      La matrice ligne V des prix de vente des produits A et B est $V=\left(\begin{array}{cc}480& 725\end{array}\right)$

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3. L'entreprise reçoit une commande de 100 produits A et 80 produits B. Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.

   Soit $D=\left(\begin{array}{c}100\\ 80\end{array}\right)$ la matrice dont les éléments sont les quantités des produits A et B commandés.

   Le montant de la recette correspondant à cette commande est $R=V\times D$ soit : $$\begin{array}{ccccccc}R& =& \left(\begin{array}{cc}480& 725\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}100\\ 80\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}480\times 100+725\times 100\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}106000\end{array}\right)\end{array}$$

   Le montant total de la commande est de 106 000 euros.

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