contrôle du 07 mai 2009

exercice 1

Soit $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ où a et b sont deux réels non nuls.

Déterminer les éléments de la matrice J telle que $M=a{I}_2+bJ$.

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exercice 2

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 2& 3\end{array}\right)$

1. Calculer $A^2$ en déduire l'inverse de la matrice A.

2. Calculer $A^3$ et $A^4$ Quel est l'inverse de la matrice $A^2$ ?

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exercice 3

Soit $T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -1& -2\end{array}\right)$ où a et b sont deux réels. Calculer a et b pour que $T=T^{-1}$

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exercice 4

Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B :

• la fabrication d'un article A nécessite 6 unités de matières premières, 4 unités de main d'œuvre et 1 unité d'énergie ;
• la fabrication d'un article B nécessite 9 unités de matières premières, 3 unités de main d'œuvre et 2 unités d'énergie.

1. On note $C=\left(\begin{array}{ccc}40& 20& 80\end{array}\right)$ la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (matières premières, main d'œuvre et énergie). Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice ligne $P=\left(\begin{array}{cc}{p}_A& p_B\end{array}\right)$ des prix de revient des produits A et B

2. Le bénéfice est égal à 20% du prix de revient sur le produit A et à 25% du prix de revient sur le produit B.

   1. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice ligne $V=\left(\begin{array}{cc}{v}_A& v_B\end{array}\right)$ des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices P et M.

   2. Calculer V.

3. L'entreprise reçoit une commande de 100 produits A et 80 produits B. Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.

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