contrôle du 04 juin 2009

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise vend quatre types de produits notés $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$. La matrice des commandes de trois clients notés X, Y et Z est $C=\left(\begin{array}{rrrr}7& 12& 5& 15\\ 13& 0& 12& 5\\ 2& 7& 3& 18\end{array}\right)$ les lignes étant relatives aux clients et les colonnes aux produits.

1. Effectuer le produit $C\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ et interpréter le résultat.

   $$\begin{array}{ccccccc}C\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{rrrr}7& 12& 5& 15\\ 13& 0& 12& 5\\ 2& 7& 3& 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}7+12+5+15\\ 13+0+12+5\\ 2+7+3+18\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}39\\ 30\\ 30\end{array}\right)\end{array}$$

   Le produit $C\times \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}39\\ 30\\ 30\end{array}\right)$ permet d'obtenir le nombre total d'articles commandés par chaque client.

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2. Effectuer le produit $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times C$ et interpréter le résultat.

   $$\begin{array}{ccccccc}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times C& =& \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{rrrr}7& 12& 5& 15\\ 13& 0& 12& 5\\ 2& 7& 3& 18\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cccc}7+13+2& 12+0+7& 5+12+3& 15+5+18\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cccc}22& 19& 20& 38\end{array}\right)\end{array}$$

   Le produit $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\times C=\left(\begin{array}{cccc}22& 19& 20& 38\end{array}\right)$ permet d'obtenir le nombre total de produits de chaque catégorie $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ commandés par l'ensemble des trois clients.

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3. Les prix unitaires de chacun des quatre produits sont respectivement 45 €, 15 €, 20 € et 30 €. Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant en euros de la commande de chacun des clients.

   Soit $P=\left(\begin{array}{c}45\\ 15\\ 20\\ 30\end{array}\right)$ le vecteur colonne des prix unitaires de chaque produit, le montant de la commande ce chaque client est :$$\begin{array}{ccccccc}C\times P& =& \left(\begin{array}{rrrr}7& 12& 5& 15\\ 13& 0& 12& 5\\ 2& 7& 3& 18\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}45\\ 15\\ 20\\ 30\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}7\times 45+12\times 15+5\times 20+15\times 30\\ 13\times 45+0\times 15+12\times 20+5\times 30\\ 2\times 45+7\times 15+3\times 20+18\times 30\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{r}1045\\ 975\\ 795\end{array}\right)\end{array}$$

   Le montant de la commande du client X est de 1075 €, celui de Y est de 975 € et celui de Z est de 795 €.

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