contrôle du 04 juin 2009

Corrigé de l'exercice 3

1. On suppose dans cette question que le vecteur colonne des productions totales de chacun des trois secteurs est $P=\left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 200\end{array}\right)$.

   1. À l'aide d'un produit de matrices, calculer le vecteur colonne des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs.

      D'après les données de l'énoncé, produire 150 unités du secteur A, 300 unités du secteur B et 200 unités du secteur C engendre une consommation itermédiaire de :

      • $\mathrm{0,1}\times 150+\mathrm{0,3}\times 300+0\times 200$ unités du secteur A ;
      • $\mathrm{0,2}\times 150+\mathrm{0,25}\times 300+\mathrm{0,2}\times 200$ unités du secteur B ;
      • $\mathrm{0,1}\times 150+\mathrm{0,2}\times 300+\mathrm{0,2}\times 200$ unités du secteur C ;

      Par conséquent, si $T=\left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& 0\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,25}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)$ est la matrice représentant les quantités respectives de consommations intermédiaires de chacun des secteurs nécessaires à la production d'une unité de chacun des secteurs alors, le vecteur colonne $C_I$ des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs est $C_I=T\times P$ . Soit $$\begin{array}{ccccccc}{C}_I& =& \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& 0\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,25}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 200\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}\mathrm{0,1}\times 150+\mathrm{0,3}\times 300+0\times 200\\ \mathrm{0,2}\times 150+\mathrm{0,25}\times 300+\mathrm{0,2}\times 200\\ \mathrm{0,1}\times 150+\mathrm{0,2}\times 300+\mathrm{0,2}\times 200\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}105\\ 145\\ 115\end{array}\right)\end{array}$$

      Le vecteur colonne des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs est $C_I=\left(\begin{array}{c}105\\ 145\\ 115\end{array}\right)$

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   2. Quelles sont les consommations finales des consommateurs de chacun des trois secteurs ?

      La production totale de chaque secteur est la somme de toutes les consommations intermédiaires et de la consommation finale des consommateurs donc si $C_F$ est la matrice des consommations finales, alors $C_F=P-C_I$. Soit : $$\begin{array}{ccccc}{C}_F& =& \left(\begin{array}{c}150\\ 300\\ 200\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}105\\ 145\\ 115\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{r}45\\ 155\\ 85\end{array}\right)\end{array}$$

      Les consommations finales des consommateurs sont de 45 unités du secteur A, 155 unités du secteur B et 85 unités du secteur C.

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2. On suppose dans cette question que la demande des consommations finales est de 81 unités du secteur A, 144 unités du secteur B et 108 unités du secteur C. Déterminer la production totale de chaque secteur pour satisfaire la demande des consommations finales ?

   Soit x, y et z les productions totales respectives des trois secteurs A, B et C.

   • Le vecteur colonne des productions totales de chacun des trois secteurs est $P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

   • Le vecteur colonne des consommations intermédiaires de chacun des trois secteurs est : $$\begin{array}{ccccc}{C}_I& =& \left(\begin{array}{lll}\mathrm{0,1}& \mathrm{0,3}& 0\\ \mathrm{0,2}& \mathrm{0,25}& \mathrm{0,2}\\ \mathrm{0,1}& \mathrm{0,2}& \mathrm{0,2}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}y\\ \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,25}y+\mathrm{0,2}z\\ \mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,2}z\end{array}\right)\end{array}$$

   • Le vecteur colonne des consommations finales de chacun des trois secteurs est : $$\begin{array}{ccccc}{C}_F& =& \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}y\\ \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,25}y+\mathrm{0,2}z\\ \mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,2}z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,3}y\\ -\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,75}y-\mathrm{0,2}z\\ -\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,8}z\end{array}\right)\end{array}$$

   Ainsi, x, y et z sont solutions du système : $$\{\begin{array}{rrr}\mathrm{0,9}x-\mathrm{0,3}y& =& 81\\ -\mathrm{0,2}x+\mathrm{0,75}y-\mathrm{0,2}z& =& 144\\ -\mathrm{0,1}x-\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,8}z& =& 108\end{array}$$

   Posons $A=\left(\begin{array}{rrr}\mathrm{0,9}& -\mathrm{0,3}& 0\\ -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,75}& -\mathrm{0,2}\\ -\mathrm{0,1}& -\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{r}81\\ 144\\ 108\end{array}\right)$ . Le système s'écrit sous forme matricielle : $$AX=B$$

   Or la matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{56}{45}}& {\displaystyle \frac{8}{15}}& {\displaystyle \frac{2}{15}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{23}{90}}& {\displaystyle \frac{7}{15}}& {\displaystyle \frac{41}{30}}\end{array}\right)$$

   Donc $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{56}{45}}& {\displaystyle \frac{8}{15}}& {\displaystyle \frac{2}{15}}\\ {\displaystyle \frac{2}{5}}& {\displaystyle \frac{8}{5}}& {\displaystyle \frac{2}{5}}\\ {\displaystyle \frac{23}{90}}& {\displaystyle \frac{7}{15}}& {\displaystyle \frac{41}{30}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}81\\ 144\\ 108\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}192\\ 306\\ \mathrm{235,6}\end{array}\right)\end{array}$$

   Pour satisfaire la demande des consommateurs, les productions totales sont de 192 unités du secteur A, 306 unités du secteur B et 235,5 unités du secteur C.

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