contrôles en première ES

contrôle du 30 mai 2018

Corrigé de l'exercice 1

partie a

On a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $𝒞_{f}$ d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point $A (3; 90)$ passe par le point $B (5; 102)$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f.

À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer $f' (3)$ .
Le nombre dérivé $f' (3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A (3; 90)$ . Comme le point $B (5; 102)$ appartient à cette tangente, on en déduit que : $f' (3) = \frac{102 - 90}{5 - 3} = 6$
$f' (3) = 6$ .

Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente la fonction dérivée $f'$ ?

$f' (3) = 6$ donc la courbe $C_{1}$ ne peut pas représenter la dérivée de la fonction f.
Sur l'intervalle $[3; 10]$ , les coefficients directeurs des tangentes à la courbe $𝒞_{f}$ sont de plus en plus grands. Par conséquent, la fonction dérivée $f'$ est croissante sur l'intervalle $[3; 10]$ donc la courbe $C_{3}$ ne convient pas.

$C_{2}$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction dérivée $f'$ .

partie b

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production est limitée à 10 milliers d'articles par mois.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ par : $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81$ Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0; 10]$ à la dérivée $f'$ du coût total de production.
La courbe $𝒞_{f}$ , donnée en annexe, est la courbe représentative de la fonction f.

Calculer $f' (x)$ .
$f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 9$ .
Justifier que la fonction f est strictement croissante sur $[0; 10]$ .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Le discriminant du polynôme du second degré $3 x^{2} - 10 x + 9$ est : $\begin{matrix} Δ = {(- 10)}^{2} - 4 \times 3 \times 9 = - 8 \end{matrix}$ $Δ < 0$ donc pour tout réel x, $3 x^{2} - 10 x + 9 > 0$
Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante.
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $\frac{9}{2}$ .
Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.
Une équation de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $\frac{9}{2}$ est : $y = f' (\frac{9}{2}) \times (x - \frac{9}{2}) + f (\frac{9}{2})$
Or $f' (\frac{9}{2}) = 3 \times \frac{81}{4} - 10 \times \frac{9}{2} + 9 = \frac{99}{4}$ et $f (\frac{9}{2}) = \frac{729}{8} - 5 \times \frac{81}{4} + 9 \times \frac{9}{2} + 81 = \frac{891}{8}$ d'où une équation de la tangente T : $\begin{matrix} y = \frac{99}{4} \times (x - \frac{9}{2}) + \frac{891}{8} & \Leftrightarrow & y = \frac{99}{4} x \end{matrix}$
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $\frac{9}{2}$ a pour équation $y = 24,75 x$ .

partie c

Chaque article est vendu 57 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R (x) = 57 x$ .

1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.
  La courbe représentative de la fonction R est la droite 𝒟 d'équation $y = 57 x$ passant par l'origine du repère les point de coordonnées $(10; 570)$
2. Par lecture graphique, déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
  L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la droite 𝒟 est située au dessus de la courbe $𝒞_{f}$ .
  Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 1600 et 9200 articles.

Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = R (x) - f (x)$ où f est la fonction coût total définie dans la partie B.

On note $B'$ la dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0; 10]$ on a $B' (x) = - 3 x^{2} + 10 x + 48$ .
La fonction B est définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = 57 x - (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81) = - x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 81$
La dérivée de la fonction B est la fonction $B'$ définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B' (x) = - 3 x^{2} + 10 x + 48$ .

Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle $[0; 10]$ .

Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée.

Cherchons les racines éventuelles du polynôme du second degré $- 3 x^{2} + 10 x + 48$

Le discriminant du trinôme est : $Δ = 100 - 4 \times (- 3) \times 48 = 676$ .

Le trinôme admet deux racines distinctes : $x_{1} = \frac{- 10 - 26}{- 6} = 6$ et $x_{2} = \frac{- 10 + 26}{- 6} = - \frac{8}{3}$ .

Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $B' (x)$ sur l'intervalle $[0; 10]$ ainsi que les variations B :

x	0		6		10
$B' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$B (x)$	$- 81$		171		$- 101$

En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
Le bénéfice maximal est de 171 000 euros réalisé avec la vente de 6 000 articles.

partie d

On note $C (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction C est définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81}{x}$ .
On admet que la fonction C est dérivable sur l'intervalle $] 0; 10]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

Calculer $C' (x)$ , et vérifier que $C' (x) = \frac{(2 x - 9) (x^{2} + 2 x + 9)}{x^{2}}$ pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ .
C est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $C = \frac{u}{v}$ avec $v \neq 0$ d'où $C' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81 & d'où & u' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 9 \\ et \\ v (x) = x & d'où & v' (x) = 1 \end{array}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ , $\begin{array}{rcl} C' (x) & = & \frac{(3 x^{2} - 10 x + 9) \times x - (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81)}{x^{2}} \\ = & \frac{3 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - x^{3} + 5 x^{2} - 9 x - 81}{x^{2}} \\ = & \frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 81}{x^{2}} \end{array}$
Or pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ , $\begin{matrix} (2 x - 9) (x^{2} + 2 x + 9) & = & 2 x^{3} + 4 x^{2} + 18 x - 9 x^{2} - 18 x - 81 \\ = & 2 x^{3} - 5 x^{2} - 81 \end{matrix}$
Ainsi, $C'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ par $C' (x) = \frac{(2 x - 9) (x^{2} + 2 x + 9)}{x^{2}}$ .

Étudier les variations de la fonction C sur $] 0; 10]$ .

Le discriminant du polynôme du second degré $x^{2} + 2 x + 9$ est : $Δ = 4 - 36 = - 32$

$Δ < 0$ donc pour tout réel x, $2 x^{2} + 2 x + 9 > 0$ . Par conséquent, sur l'intervalle $] 0; 10]$ , $C' (x)$ est du même signe que $2 x - 9$ .

Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		$\frac{9}{2}$		10
$C' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C (x)$			24,75

En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?
Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 4 500 articles et $C (\frac{9}{2}) = \frac{891}{8} \times \frac{2}{9} = \frac{99}{4} = 24,75$
L'entreprise ne fait aucun bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 24,75 euros.

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