contrôles en première ES

contrôle du 21 décembre 2017

thème

  • Dérivée

exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On note f la dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.
La tangente à la courbe 𝒞f au point B passe par le point de coordonnées -33.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des données de l'énoncé :

    1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation fx=0.

    2. Déterminer f1.

  2. La tangente à la courbe 𝒞f au point D d'abscisse 5 a pour équation y=78x-14524.
    En déduire les valeurs de f5 et f5.

  3. La proposition « f0>1 » est-elle vraie ou fausse ?

  4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f . Déterminer laquelle.

    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe 𝒞1Courbe 𝒞2Courbe 𝒞3

exercice 2

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

  1. u est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 0+ par ux=x2+4x+2x.

  2. v est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 0+ par vx=2-x2-1x2.

  3. f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle 0+ par fx=ux×vx.


exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par fx=8x-3x2x2-x+1. On note f la dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous la courbe 𝒞f représentative de la fonction f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Étudier le signe du polynôme vx=x2-x+1.

    2. Montrer que pour tout réel x, fx=-5x2-6x+8x2-x+12.

    1. Étudier le signe de fx.

    2. Donner le tableau des variations de f.

  1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 5.
    Tracer sur le graphique donné, la tangente T.


exercice 4

On souhaite tracer une courbe 𝒞 pouvant représenter une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle -37 qui satisfait les conditions suivantes :

  1. Donner le tableau de variations de la fonction f. On fera figurer dans le tableau les images par f de -3, -1, 3 et 7.

  2. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 7.

  3. Dans le repère donné en annexe ci-dessous placer le point A et tracer la droite 𝒟 ainsi que les tangentes à la courbe 𝒞 aux points d'abscisses -1, 3 et 7. Tracer la courbe 𝒞.


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