contrôle du 21 décembre 2017

exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur $ℝ$. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f.
La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point B passe par le point de coordonnées $\left(-3;3\right)$.

1. À partir du graphique et des données de l'énoncé :

   1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$.

   2. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

2. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point D d'abscisse 5 a pour équation $y={\displaystyle \frac{7}{8}}x-{\displaystyle \frac{145}{24}}$.
   En déduire les valeurs de $f\left(5\right)$ et $f\prime \left(5\right)$.

3. La proposition « $f\prime \left(0\right)>1$ » est-elle vraie ou fausse ?

4. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ . Déterminer laquelle.

   Courbe ${𝒞}_1$	Courbe ${𝒞}_2$	Courbe ${𝒞}_3$

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exercice 2

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

1. u est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $u\left(x\right)=x^2+4x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

2. v est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$.

3. f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=u\left(x\right)\times v\left(x\right)$.

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}}$. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
On donne ci-dessous la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f.

1. 1. Étudier le signe du polynôme $v\left(x\right)=x^2-x+1$.

   2. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-6x+8}{{\left(x^2-x+1\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau des variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 5.
   Tracer sur le graphique donné, la tangente T.

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exercice 4

On souhaite tracer une courbe 𝒞 pouvant représenter une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-3;7\right]$ qui satisfait les conditions suivantes :

• $f\left(-3\right)=-2$, $f\left(7\right)=5$ et $f\prime \left(7\right)=2$.
• Le signe de la fonction dérivée $f\prime$ de f est donné par le tableau suivant :
  

  x	$-3$		$-1$		3		7
  $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

• Sur l'intervalle $\left[-2;5\right]$, la fonction f admet un maximum égal à 4 et un minimum égal à 1.
• La droite 𝒟 d'équation $y=-x+3$ est tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 1.

1. Donner le tableau de variations de la fonction f. On fera figurer dans le tableau les images par f de $-3$, $-1$, 3 et 7.

2. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 7.

3. Dans le repère donné en annexe ci-dessous placer le point A et tracer la droite 𝒟 ainsi que les tangentes à la courbe 𝒞 aux points d'abscisses $-1$, 3 et 7. Tracer une courbe 𝒞 pouvant représenter la fonction f.

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