contrôles en première ES

contrôle du 30 mai 2018

thèmes

Fonction, dérivée variation, bénéfice, coût moyen.
Suites géométriques.

exercice 1

partie a

On a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $𝒞_{f}$ d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point $A (3; 90)$ passe par le point $B (5; 102)$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f.

À partir du graphique et des renseignements fournis déterminer $f' (3)$ .

Quelle est, parmi les trois courbes proposées ci-dessous, celle qui représente la fonction dérivée $f'$ ?

partie b

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production est limitée à 10 milliers d'articles par mois.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; 10]$ par : $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81$ Le coût marginal est assimilé sur l'intervalle $[0; 10]$ à la dérivée $f'$ du coût total de production.
La courbe $𝒞_{f}$ , donnée en annexe, est la courbe représentative de la fonction f.

Calculer $f' (x)$ .
Justifier que la fonction f est strictement croissante sur $[0; 10]$ .
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $𝒞_{f}$ au point d'abscisse $\frac{9}{2}$ .
Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.

partie c

Chaque article est vendu 57 euros, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par $R (x) = 57 x$ .

1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe 𝒟 représentative de la fonction R.
2. Par lecture graphique, déterminer les quantités commercialisées, arrondies à la centaine d'articles près, dégageant un bénéfice positif.
Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $B (x) = R (x) - f (x)$ où f est la fonction coût total définie dans la partie B.
1. On note $B'$ la dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0; 10]$ on a $B' (x) = - 3 x^{2} + 10 x + 48$ .
2. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle $[0; 10]$ .
3. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
  Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

partie d

On note $C (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction C est définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $C (x) = \frac{x^{3} - 5 x^{2} + 9 x + 81}{x}$ .
On admet que la fonction C est dérivable sur l'intervalle $] 0; 10]$ et on appelle $C'$ sa fonction dérivée.

Calculer $C' (x)$ , et vérifier que $C' (x) = \frac{(2 x - 9) (x^{2} + 2 x + 9)}{x^{2}}$ pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 10]$ .
Étudier les variations de la fonction C sur $] 0; 10]$ .
En dessous de quel prix de vente unitaire, l'entreprise est-elle sûre de ne faire aucun bénéfice ?

exercice 2

partie a

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 250$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,72 u_{n} + 520$ .

Calculer $u_{2}$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 1500$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n} = 1500 - 1250 \times {0,72}^{n}$ .
Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .

partie b

Une municipalité a décidé de proposer un abonnement mensuel à un service de location de vélos.
Au mois de janvier 2018, 250 personnes se sont abonnées à ce service.
Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochains mois à l'aide de la suite $(u_{n})$ définie dans la partie A.

On considère l'algorithme suivant :
$U \leftarrow 250$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U ⩽ 1435$
$U \leftarrow 0,72 \times U + 420$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
Donner une interprétation de la valeur $N = 9$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
Selon ce modèle, donner une estimation du nombre d'abonnés au bout de 12 mois.
Est-il possible d'envisager nombre d'abonnés supérieur à 2000 ?

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