contrôles en première ES

contrôle du 30 mai 2018

Corrigé de l'exercice 2

partie a

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 250$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,72 u_{n} + 520$ .

Calculer $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 0,72 \times 250 + 420 = 600 \\ u_{2} = 0,72 \times 600 + 420 = 852 \end{array}$
Ainsi, $u_{2} = 852$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 1500$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 1500 \\ = & 0,72 u_{n} + 420 - 1500 \\ = & 0,72 u_{n} - 1080 \\ = & 0,72 \times (u_{n} - 1500) \\ = & 0,72 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,72 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,72 dont le premier terme $v_{0} = 250 - 1500 = - 1250$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,72 et de premier terme $v_{0} = - 1250$ donc pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = - 1250 \times {0,72}^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_{n} = 1500 - 1250 \times {0,72}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 1500 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 1500$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1500 - 1250 \times {0,72}^{n}$
Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} & = & (1500 - 1250 \times {0,72}^{n + 1}) - (1500 - 1250 \times {0,72}^{n}) \\ = & 1500 - 1250 \times {0,72}^{n + 1} - 1500 + 1250 \times {0,72}^{n} \\ = & - 1250 \times {0,72}^{n + 1} + 1250 \times {0,72}^{n} \\ = & 1250 \times {0,72}^{n} \times (- 0,72 + 1) \\ = & 350 \times {0,72}^{n} \end{array}$
Or pour tout entier n, $350 \times {0,72}^{n} > 0$ , donc :
pour tout entier n, $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ . La suite $(u_{n})$ est strictement croissante.

partie b

Une municipalité a décidé de proposer un abonnement mensuel à un service de location de vélos.
Au mois de janvier 2018, 250 personnes se sont abonnées à ce service.
Une étude statistique a permis de modéliser l'évolution du nombre d'abonnements pour les prochains mois à l'aide de la suite $(u_{n})$ définie dans la partie A.

On considère l'algorithme suivant :
$U \leftarrow 250$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U ⩽ 1435$
$U \leftarrow 0,72 \times U + 420$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
Donner une interprétation de la valeur $N = 9$ obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme.
Le nombre d'abonnés au service de location de vélos sera supérieur à 1435 à partir du 9^ième mois.
Selon ce modèle, donner une estimation du nombre d'abonnés au bout de 12 mois.
$u_{12} = 1500 - 1250 \times {0,72}^{12} \approx 1476$
Au bout d'un an, il y aura environ 1476 abonnés.
Est-il possible d'envisager nombre d'abonnés supérieur à 2000 ?
$\begin{array}{rcl} 1500 - 1250 \times {0,72}^{n} > 2000 & \Leftrightarrow & - 1250 \times {0,72}^{n} > 500 \\ \Leftrightarrow & {0,72}^{n} < - 0,4 \end{array}$
Or pour tout entier n, ${0,72}^{n} > 0$ donc l'inéquation n'a pas de solution.
Selon ce modèle, il n'est pas possible d'envisager nombre d'abonnés supérieur à 2000.

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