contrôle du 18 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 1

1. On considère la série chronologique suivante :

   $x_i$	1	2	3	4	5	6
   $y_i$	20	25	33	42	51	60

   Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

   1. Le point moyen est sur la droite d'équation $y=\mathrm{8,2}x+\mathrm{9,8}$.

      Les coordonnées du point moyen sont : $$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}}=\mathrm{3,5}& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{20+25+33+42+51+60}{6}}=\mathrm{38,5}\end{array}$$

      Or $\mathrm{8,2}\times \mathrm{3,5}+\mathrm{9,8}=\mathrm{38,5}$

      Les coordonnées du point moyen G vérifient l'équation de la droite donc le pont G est sur la droite. L'affirmation "a" est vraie.

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   2. La somme $S={\displaystyle \sum _{i=1}^6}{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2$ est minimale pour $a=1$ et $b=0$.

      La droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés est la droite d'équation $y=ax+b$ qui rend minimale la somme $S={\displaystyle \sum _{i=1}^6}{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2$.

      Or la droite d'ajustement affine par la méthode des moindres carrés de la série chronologique a pour équation $y=\mathrm{8,2}x+\mathrm{9,8}$.

      La somme $S={\displaystyle \sum _{i=1}^6}{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2$ est minimale pour $a=\mathrm{8,2}$ et $b=\mathrm{9,8}$. L'affirmation "b" est fausse.

      ---

2. On considère une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$. Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥})$.
   La courbe $C_f$ est la courbe représentative de f . Les points $A\left(-1;\mathrm{2,1}\right)$ et $B\left(1;\mathrm{0,5}\right)$ sont des points de $C_f$.
   La droite D est la tangente à $C_f$ au point B. La tangente à $C_f$ au point A est parallèle à l'axe des abscisses.

   Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

   1. $f\prime \left(-1\right)=0$.

      La tangente à $C_f$ au point A est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul.

      Or le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point A.

      Donc $f\prime \left(-1\right)=0$. L'affirmation "a" est vraie.

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   2. $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $B\left(1;\mathrm{0,5}\right)$.

      Or la droite D passe également par le point de coordonnées $\left(1;\mathrm{0,5}\right)$ . Son coefficient directeur est $a={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}-1}{1-0}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

      Donc $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. L'affirmation "b" est vraie.

      ---

   3. La courbe Γ est la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      La courbe $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction strictement décroissante sur $ℝ$ , donc pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

      Or la courbe Γ est la représentation graphique d'une fonction positive sur l'intervalle sur $\left]-\infty ;-1\right]$.

      Donc la courbe Γ n'est pas la représentation graphique de la dérivée $f\prime$ de la fonction f. L'affirmation "c" est fausse.

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