contrôle du 18 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-4x+36}{2x}}$.
On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1. Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ ; qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?

   $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2-4x+36=36$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2x=0^{+}$ alors par quotient, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-4x+36}{2x}}=+\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc, l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$.

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   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-4x+36}{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=+\infty$

   Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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2. Montrer que la courbe $C_f$ admet une asymptote Δ d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-2$.

   $\begin{array}{lll}f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-2\right)& =& {\displaystyle \frac{x^2-4x+36}{2x}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-4x+36-x^2+4x}{2x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{18}{x}}\end{array}$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{18}{x}}=0$.

   Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-2\right)=0$ alors, la droite Δ d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-2$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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3. Étudier les positions relatives de la courbe $C_f$ et de l'asymptote Δ sur $\left]0;+\infty \right[$.

   L'étude du signe de la différence $f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-2\right)={\displaystyle \frac{18}{x}}$ indique la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à la droite Δ d’équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-2$.

   Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, ${\displaystyle \frac{18}{x}}>0$.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-2\right)>0$ donc la courbe $C_f$ est au dessus de la droite Δ.

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4. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=x^2-4x+36& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x-4\\ \text{et}& v\left(x\right)=2x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2\end{array}$$

      Donc sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(2x-4\right)\times \left(2x\right)-2\times \left(x^2-4x+36\right)}{{\left(2x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-8x-2x^2+8x-72}{{\left(2x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-72}{{\left(2x\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2-36\right)}{4x^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-36}{2x^2}}$.

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   2. Étudier les variations de f et faire son tableau de variations.

      $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-36}{2x^2}}={\displaystyle \frac{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}{2x^2}}$

      Le signe de f ' est celui de $\left(x+6\right)\left(x-6\right)$ polynôme du second degré dont la racine sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ est 6. D'où le tableau des variations de la fonction f, établi à partir de signe de la dérivée f '.

      x	0			6		$+\infty$
      Signe de f '			̅	0	+
      $f\left(x\right)$		$+\infty$		4		$+\infty$

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      Avec $f\left(6\right)={\displaystyle \frac{6^2-4\times 6+36}{2\times 6}}=4$

5. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-36}{2}}=-{\displaystyle \frac{35}{2}}$ et $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1-4+36}{2}}={\displaystyle \frac{33}{2}}$.

   D'où $$\begin{array}{lll}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)& \iff & y=-{\displaystyle \frac{35}{2}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{33}{2}}\\ & \iff & y=-{\displaystyle \frac{35x}{2}}+34\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-\mathrm{17,5}x+34$.

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