contrôles en terminale ES

contrôle du 18 novembre 2006

thèmes abordés

  • Ajustement affine. Propriétés de la droite de régression.
  • Étude d'une fonction rationnelle, dérivée, asymptote, tangente .

exercice 1

  1. On considère la série chronologique suivante :

    yi123456
    xi202533425160

    Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

    1. Le point moyen est sur la droite d'équation y=8,2x+9,8.

    2. La somme S=i=16yi-axi-b2 est minimale pour a=1 et b=0.

  2. On considère une fonction f définie et dérivable sur . Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal (O;ı,ȷ).
    La courbe Cf est la courbe représentative de f . Les points A-12,1 et B10,5 sont des points de Cf.
    La droite D est la tangente à Cf au point B. La tangente à Cf au point A est parallèle à l'axe des abscisses.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse fournie.

    1. f-1=0.

    2. f1=-12.

    3. La courbe Γ est la représentation graphique de la dérivée f de la fonction f.

      Courbe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 2

D'aprés sujet bac Polynésie septembre 2006.

La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux PME. Cette société a mené une enquête dans une région auprès de 300 entreprises équipées d'ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, ceci afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants :

x prix proposé pour le nouveau
logiciel en centaines d'euros

y nombre d'entreprises disposées
à acheter le logiciel à ce prix

3090
25120
20170
15200
10260
  1. Représenter graphiquement le nuage de points de la série xiyi dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 200 euros en abscisses et 5 cm pour 100 entreprises en ordonnées).
    Placer le point moyen G après avoir déterminé ses coordonnées.

  2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite D d'ajustement affine de y en x sous la forme y=ax+b.
    Aucun détail des calculs n'est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
    Tracer D sur le graphique précédent.

  3. En utilisant l'ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel.

  4. On note Rx la recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros.

    1. En utilisant la relation entre y et x obtenue à la question 2, donner l'expression de Rx pour x variant entre 5 et 30.

    2. Étudier les variations de la fonction R sur 530 et en déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que la recette Rx soit maximale. Déterminer alors le montant de cette recette ainsi que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.


exercice 3

Soit f la fonction définie sur 0+ par :fx=x2-4x+362x.
On appelle Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

  1. Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle 0+ ; qu'en déduit-on pour la courbe Cf ?

  2. Montrer que la courbe Cf admet une asymptote Δ d'équation y=x2-2.

  3. Étudier les positions relatives de la courbe Cf et de l'asymptote Δ sur 0+.

  4. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer fx.

    2. Étudier les variations de f et faire son tableau de variations.

  5. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1.



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✉ A.Yallouz

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