contrôles en terminale ES

contrôle du 17 mars 2007

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise vend des calculatrices d'une certaine marque. Le service après-vente s'est aperçu qu'elles pouvaient présenter deux types de défaut, l'un lié au clavier et l'autre lié à l'affichage.
Des études statistiques ont permis à l'entreprise d'utiliser la modélisation suivante :

  • La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à 0,04.
  • En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de 0,03.
  • Alors qu'en l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de 0,94.

On note C l'évènement « la calculatrice présente un défaut de clavier », A l'évènement « la calculatrice présente un défaut d'affichage ».
On notera pE la probabilité de l'évènement E. L'évènement contraire de E sera noté E¯ et pFE la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé.

Dans cet exercice, les probabilités seront écrites sous forme de nombres décimaux arrondis à 10-4 près.

    1. Préciser à l'aide de l'énoncé les probabilités suivantes : pC¯A¯, pCA et pC.

      • En l'absence de défaut de clavier, la probabilité de ne pas présenter de défaut d'affichage est de 0,94 d'où pC¯A¯=0,94


      • En présence du défaut de clavier, la probabilité que la calculatrice soit en panne d'affichage est de 0,03 d'où pCA=0,03


      • La probabilité pour une calculatrice tirée au hasard de présenter un défaut de clavier est égale à 0,04 d'où pC=0,04


    2. Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.

      Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      L'arbre a été complété en utilisant la règle des nœuds.

  1. On choisit une calculatrice de cette marque au hasard.

    1. Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts.

      pCA=pCA×pC=0,03×0,04=0,0012

      Ainsi, la probabilité pour que la calculatrice présente les deux défauts est 0,0012.


    2. Calculer la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier.

      Nous avons pC¯=1-pC=0,96 et pC¯A=1-pC¯A¯=0,06 donc pC¯A=pC¯A×pC¯=0,96×0,06=0,0576

      Ainsi, la probabilité pour que la calculatrice présente le défaut d'affichage mais pas le défaut de clavier est 0,0576.


    3. En déduire pA.

      C et A sont deux évènements relatifs à une même épreuve alors , d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
      pA=pCA+pC¯A=0,0012+0,0576=0,0588

      La probabilité que la calculatrice présente un défaut d'affichage est 0,0588.


    4. Montrer que la probabilité de l'évènement D «la calculatrice est de fabrication défectueuse » est égale à 0,0976.

      Il y a deux possibilités de calculer la probabilité de l'évènement D

      • L'évènement D est l'évènement « la calculatrice a un défaut de clavier ou un défaut d'affichage » or, pCA=pC+pA-pCA=0,04+0,0588-0,0012=0,0976

      • ou bien, D est l'évènement contraire de l'évènement « la calculatrice n'a aucun défaut » soit ,pD=1-pC¯A¯=1-pC¯A¯×pC¯=1-0,94×0,96=0,0976

      La probabilité de l'évènement D «la calculatrice est de fabrication défectueuse » est égale à 0,0976.


  2. Trois clients achètent de manière indépendante une calculatrice de cette marque.

    1. Calculer la probabilité pour qu'au moins une calculatrice soit sans défaut.

      L'achat des trois calculatrices de manière indépendante est assimilé à la répétition de trois épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de calculatrices sans défaut est une loi binomiale de paramètres 3 et 1-0,0976=0,9024.

      « au moins une calculatrice est sans défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois calculatrices ont un défaut de fabrication ». Par conséquent, la probabilité d'avoir au moins une calculatrice sans défaut est égale à 1-0,09763

      Arrondie à 10-4 près, la probabilité d'avoir au moins une calculatrice sans défaut est 0,9991.


    2. Calculer la probabilité pour qu'une seule calculatrice soit sans défaut.

      La loi binomiale de paramètres 3 et 0,0976 peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

      Loi binomiale : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      L'évènement : « une seule calculatrice des trois calculatrices est sans défaut » peut être obtenu selon les trois chemins en rouge sur l'arbre. Les évènements correspondants à ces tois chemins ont la même probabilité d'où la probabilité cherchée :3×0,09762×0,90240,0258

      Arrondie à 10-4 près, la probabilité qu'une seule calculatrice soit sans défaut est 0,0258.



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