contrôle du 17 mars 2007

Corrigé de l'exercice 3

1. On considère la fonction f définie sur $\left[0;10\right]$ par : $f\left(x\right)=5\ln \left(x+1\right)-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}+6$. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$ est tracée ci-dessous.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$, où $f\prime$ est la dérivée de f.

      La fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$ est de la forme $\ln u$. Elle est dérivable sur $\left[0;10\right]$ et sa dérivée est de la forme ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u\left(x\right)=x+1$ et $u\prime \left(x\right)=1$.

      La fonction $x\to {\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ est de la forme ${\displaystyle \frac{1}{u}}$. Elle est dérivable sur $\left[0;10\right]$ et sa dérivée est de la forme $-{\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$.

      Par conséquent, la fonction f est dérivable sur $\left[0;10\right]$ et sa dérivée est définie par : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5}{x+1}}+{\displaystyle \frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5\left(x+1\right)+5}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5x+10}{{\left(x+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur $\left[0;10\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{5x+10}{{\left(x+1\right)}^2}}$

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   2. Étudier le sens de variation de f sur $\left[0;10\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[0;10\right]$, $5x+10>0$ et ${\left(x+1\right)}^2>0$ . Par conséquent $f\prime \left(x\right)>0$

      Donc la fonction f est strictement croissante sur $\left[0;10\right]$.

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2. Soit G la fonction définie sur $\left[0;10\right]$ par $G\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)-x$

   1. Montrer que G est une primitive de la fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$.

      Dire que G est une primitive de la fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$ signifie que $G\prime \left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$.

      Calculons la dérivée de la fonction G

      La fonction $x\to \left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)$ est de la forme $u\times v$.
      Elle est dérivable sur $\left[0;10\right]$ et sa dérivée est de la forme $u\prime v+uv\prime$ avec : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}\end{array}$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{lll}G\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln \left(x+1\right)+\left(x+1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x+1}}-1\\ & =& \ln \left(x+1\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$$G\prime \left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$.

      Donc la fonction G définie sur $\left[0;10\right]$ par $G\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)-x$ est une primitive de la fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$.

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   2. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que $F\left(0\right)=16$.

      $f\left(x\right)=5\ln \left(x+1\right)-{\displaystyle \frac{5}{x+1}}+6$, une primitive de la fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$ est la fonction G définie dans la question précédente et une primitive de la fonction $x\to {\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ est la fonction $x\to \ln \left(x+1\right)$ . Donc les primitives de la fonction f sont les fonctions F telles que $$\begin{array}{llll}F\left(x\right)& =& 5\left[\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)-x\right]-5\ln \left(x+1\right)+6x+c& \text{où }c\text{ est un réel}\\ & =& 5\left(x+1\right)\ln \left(x+1\right)-5x-5\ln \left(x+1\right)+6x+c& \\ & =& 5\ln \left(x+1\right)\left[x+1-1\right]+x+c& \\ & =& 5x\ln \left(x+1\right)+x+c& \end{array}$$

      Or, $F\left(0\right)=16$ équivaut à $5\times 0\times \ln \left(0+1\right)+0+c=16$ soit $c=16$.

      Donc, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(0\right)=16$ est la fonction définie sur $\left[0;10\right]$ par $F\left(x\right)=5x\ln \left(x+1\right)+x+16$.

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3. La fonction f modélise un coût marginal de production en fonction de la quantité x produite en milliers d'objets.
   Le coût total C en milliers d'euros pour une production de x milliers d'objets $\left(0<x⩽10\right)$ est défini par $C\left(x\right)=5x\ln \left(x+1\right)+x+16$on rappelle que $C\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.
   Le coût moyen unitaire est défini sur l'intervalle $\left]0;10\right]$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{C\left(x\right)}{x}}$.

   1. Quel est le coût moyen unitaire arrondi au centime d'euros d'un objet, quand l'entreprise produit 8 000 objets ?

      $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{C\left(x\right)}{x}}$ d'où $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x\ln \left(x+1\right)+x+16}{x}}$ soit $g\left(x\right)=5\ln \left(x+1\right)+1+{\displaystyle \frac{16}{x}}$.

      Pour une production de 8  000 objets le coût unitaire moyen est $$\begin{array}{lll}g\left(8\right)& =& 5\ln \left(8+1\right)+1+{\displaystyle \frac{16}{8}}\\ & =& 3+10\ln 3\end{array}$$

      Arrondi au centième, le coût moyen d'un objet est de 13,99 € pour une production de 8 000 objets.

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   2. Étudier la fonction g sur l'intervalle $\left]0;10\right]$, limite en 0 et sens de variation.

      La fonction g est définie sur $\left]0;10\right]$ par $g\left(x\right)=5\ln \left(x+1\right)+1+{\displaystyle \frac{16}{x}}$

      $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x+1\right)=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ donc par somme, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$

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      Dérivée de la fonction g

      $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{5}{x+1}}-{\displaystyle \frac{16}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5x^2-16x-16}{x^2\left(x+1\right)}}\end{array}$$

      Sur $\left]0;10\right]$, $x^2\left(x+1\right)>0$ par conséquent, le signe de la dérivée est celui du trinôme $5x^2-16x-16$.

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ avec $a=5\text{, }b=-16\text{ et }c=-16$. D'où $$\mathrm{\Delta }={\left(-16\right)}^2-4\times 5\times \left(-16\right)=576$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{16-24}{10}}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}& \text{ et }& x_2={\displaystyle \frac{16+24}{10}}=4\end{array}$$

      Comme $a>0$ , le trinôme est négatif pour les réels compris entre les racines et positif ailleurs.

      Tableau des variations de la fonction g

      x	0			4		10
      Signe de $g\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de g		$+\infty$		$g\left(4\right)$		$g\left(10\right)$

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   3. Tracer la courbe représentative de la fonction g sur le graphique fourni.

   4. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

      D'après les variations de la fonction g le coût moyen est minimal pour $x=4$.

      Or, $$\begin{array}{lllllll}g\left(4\right)& =& 5\ln \left(4+1\right)+1+{\displaystyle \frac{16}{4}}& \text{et}& f\left(4\right)& =& 5\ln \left(4+1\right)-{\displaystyle \frac{5}{4+1}}+6\\ & =& 5\ln \left(5\right)+5& & & =& 5\ln \left(5\right)+5\end{array}$$

      Donc $g\left(4\right)=f\left(4\right)$

      Sur cet exemple, lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

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   remarque :

   Ce résultat peut être établi d'une manière générale.

   Soit f une fonction définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ qui représente un coût total de production. f est nécéssairement une fonction positive et croissante.

   Le coût marginal est assimilé à la dérivée $f\prime$ . La fonction f étant croissante on en déduit que sa dérivée $f\prime$ est positive.

   Le coût moyen de production est défini sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$ . La dérivée de la fonction coût moyen est : $$g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{xf\prime \left(x\right)-f\left(x\right)}{x^2}}$$

   Le coût moyen est minimal pour x solution de l'équation $xf\prime \left(x\right)-f\left(x\right)=0$ soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$. Ainsi, lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

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