contrôles en terminale ES

contrôle du 17 mars 2007

Corrigé de l'exercice 3

  1. On considère la fonction f définie sur 010 par : fx=5lnx+1-5x+1+6. Sa courbe représentative 𝒞f est tracée ci-dessous.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer fx, où f est la dérivée de f.

      La fonction xlnx+1 est de la forme lnu. Elle est dérivable sur 010 et sa dérivée est de la forme uu avec ux=x+1 et ux=1.

      La fonction x1x+1 est de la forme 1u. Elle est dérivable sur 010 et sa dérivée est de la forme -uu2.

      Par conséquent, la fonction f est dérivable sur 010 et sa dérivée est définie par : fx=5x+1+5x+12=5x+1+5x+12=5x+10x+12

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur 010 par fx=5x+10x+12


    2. Étudier le sens de variation de f sur 010.

      Sur l'intervalle 010, 5x+10>0 et x+12>0 . Par conséquent fx>0

      Donc la fonction f est strictement croissante sur 010.


  2. Soit G la fonction définie sur 010 par Gx=x+1lnx+1-x

    1. Montrer que G est une primitive de la fonction xlnx+1.

      Dire que G est une primitive de la fonction xlnx+1 signifie que Gx=lnx+1.

      Calculons la dérivée de la fonction G

      La fonction xx+1lnx+1 est de la forme u×v.
      Elle est dérivable sur 010 et sa dérivée est de la forme uv+uv avec : {ux=x+1d'oùux=1vx=lnx+1d'oùvx=1x+1.

      Par conséquent, Gx=1×lnx+1+x+1×1x+1-1=lnx+1

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle 010Gx=lnx+1.

      Donc la fonction G définie sur 010 par Gx=x+1lnx+1-x est une primitive de la fonction xlnx+1.


    2. Déterminer la primitive F de la fonction f telle que F0=16.

      fx=5lnx+1-5x+1+6, une primitive de la fonction xlnx+1 est la fonction G définie dans la question précédente et une primitive de la fonction x1x+1 est la fonction xlnx+1 . Donc les primitives de la fonction f sont les fonctions F telles que Fx=5x+1lnx+1-x-5lnx+1+6x+coù c est un réel=5x+1lnx+1-5x-5lnx+1+6x+c=5lnx+1x+1-1+x+c=5xlnx+1+x+c

      Or, F0=16 équivaut à 5×0×ln0+1+0+c=16 soit c=16.

      Donc, la primitive F de la fonction f telle que F0=16 est la fonction définie sur 010 par Fx=5xlnx+1+x+16.


  3. La fonction f modélise un coût marginal de production en fonction de la quantité x produite en milliers d'objets.
    Le coût total C en milliers d'euros pour une production de x milliers d'objets 0<x10 est défini par Cx=5xlnx+1+x+16on rappelle que Cx=fx.
    Le coût moyen unitaire est défini sur l'intervalle 010 par gx=Cxx.

    1. Quel est le coût moyen unitaire arrondi au centime d'euros d'un objet, quand l'entreprise produit 8 000 objets ?

      gx=Cxx d'où gx=5xlnx+1+x+16x soit gx=5lnx+1+1+16x.

      Pour une production de 8  000 objets le coût unitaire moyen est g8=5ln8+1+1+168=3+10ln3

      Arrondi au centième, le coût moyen d'un objet est de 13,99 € pour une production de 8 000 objets.


    2. Étudier la fonction g sur l'intervalle 010, limite en 0 et sens de variation.

      La fonction g est définie sur 010 par gx=5lnx+1+1+16x

      limx0lnx+1=0 et limx0+1x=+ donc par somme, limx0+gx=+


      Dérivée de la fonction g

      gx=5x+1-16x2=5x2-16x-16x2x+1

      Sur 010, x2x+1>0 par conséquent, le signe de la dérivée est celui du trinôme 5x2-16x-16.

      Δ=b2-4ac avec a=5b=-16 et c=-16. D'où Δ=-162-4×5×-16=576

      Δ>0 donc le trinôme a deux racines : x1=16-2410=-45 et x2=16+2410=4

      Comme a>0 , le trinôme est négatif pour les réels compris entre les racines et positif ailleurs.

      Tableau des variations de la fonction g

      x 0  4 10
      Signe de gx  0||+ 
       Variations de g  +fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.g4fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.g10

    3. Tracer la courbe représentative de la fonction g sur le graphique fourni.

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    4. Vérifier que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

      D'après les variations de la fonction g le coût moyen est minimal pour x=4.

      Or, g4=5ln4+1+1+164etf4=5ln4+1-54+1+6=5ln5+5=5ln5+5

      Donc g4=f4

      Sur cet exemple, lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.


    remarque :

    Ce résultat peut être établi d'une manière générale.

    Soit f une fonction définie et dérivable sur 0+ qui représente un coût total de production. f est nécéssairement une fonction positive et croissante.

    Le coût marginal est assimilé à la dérivée f . La fonction f étant croissante on en déduit que sa dérivée f est positive.

    Le coût moyen de production est défini sur 0+ par gx=fxx . La dérivée de la fonction coût moyen est : gx=xfx-fxx2

    Le coût moyen est minimal pour x solution de l'équation xfx-fx=0 soit fx=fxx. Ainsi, lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.



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