contrôles en terminale ES

contrôle du 12 mai 2007

Corrigé de l'exercice 2 spécialité

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 0,4 u_{n} + 4,8$ pour tout entier naturel n.

Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 0,4 x + 4,8$ tracées ci-dessous, pour construire les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ .
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_{n})$ ?
Pour obtenir la représentation des quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ :
- Placer le terme initial $u_{0} = 2$ sur l'axe des abscisses.
- Comme $u_{1} = 0,4 u_{0} + 4,8$ , $u_{1}$ est l'ordonnée du point de la droite d'équation $y = 0,4 x + 4,8$ d'abscisse 2.
- À l'aide de la droite d'équation $y = x$ on rabat l'ordonnée $u_{1}$ sur l'axe des abscisses.
- Pousuivre le procédé pour représenter les termes $u_{2} et u_{3}$ .
  Graphiquement, la suite $(u_{n})$ semble converger vers 8. Vérifions que 8 est la bonne valeur :
  Si, lorsque n tend vers $+ \infty$ la suite $(u_{n})$ admet une limite finie $𝓁$ alors $𝓁$ est solution de l'équation $\begin{array}{l} 𝓁 = 0,4 𝓁 + 4,8 & \Leftrightarrow & 0,6 𝓁 = 4,8 \\ \Leftrightarrow & 𝓁 = 8 \end{array}$
  Si, la suite $(u_{n})$ admet une limite finie quand n tend vers $+ \infty$ alors cette limite est 8.
Soit la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 8$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,4.
  Montrons pour tout entier n $v_{n + 1} = 0,4 v_{n}$ . (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
  pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 8 \\ = & 0,4 u_{n} + 4,8 - 8 \\ = & 0,4 u_{n} - 3,2 \\ = & 0,4 (u_{n} - 8) \\ = & 0,4 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,4 v_{n}$ alors la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,4.
2. Exprimer alors $v_{n}$ , en fonction de n. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = u_{0} - 8 = - 6$ et de raison 0,4 alors d'après la propriété des suites géométriques , Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ p$ : $u_{n} = u_{p} u^{n - p}$ avec $p \in ℕ$ . pour tout entier n, $v_{n} = - 6 \times {0,4}^{n}$
  Comme pour tout entier n, $v_{n} = u_{n} - 8$ alors $u_{n} = v_{n} + 8$ .
  Donc pour tout entier n, $u_{n} = 8 - 6 \times {0,4}^{n}$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
  $u_{n} = f (n)$ avec f fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = 8 - 6 \times {0,4}^{x}$ . Pour calculer la limite de la suite $(u_{n})$ , nous sommes donc amenés à déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction f. (Voir le théorème)Soit f une fonction définie sur $[0; + \infty [$ et $(u_{n})$ la suite définie sur $ℕ$ par $u_{n} = f (n)$ .
  Si la fonction f a une limite en $+ \infty$ , alors la suite $(u_{n})$ a une limite et, $\lim_{n \to + \infty} (u_{n}) = \lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
  $0 < 0,4 < 1$ donc $\lim_{x \to + \infty} {0,4}^{x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} 8 - 6 \times {0,4}^{x} = 8$ d'où, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 8$ .
  La suite $(u_{n})$ converge vers 8.
Une revue spécialisée est diffusée à 12 000 exemplaires soit par abonnement soit par vente en librairie. Au l^er janvier 2007, 2 000 personnes sont abonnées à cette revue. Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement.
Pour tout nombre entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre d'abonnés à la revue, exprimé en milliers, n années après le l^er janvier 2007. On a donc $u_{0} = 2$ .
On suppose que le nombre d'abonnés à la revue évolue de la même façon les années suivantes.
1. À partir de quelle année le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900.
  On cherche le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩾ 7,9$
  Si $u_{n}$ est le nombre d'abonnés à la revue, exprimé en milliers, n années après l^er janvier 2007. Alors le nombre de milliers d'acheteurs de la revue qui ne sont pas abonnés n années après l^er janvier 2007 est $12 - u_{n}$ .
  D'une année sur l'autre, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement alors : $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & 0,8 u_{n} + 0,4 (12 - u_{n}) \\ = & 0,4 u_{n} + 4,8 \end{array}$
  L'évolution du nombre d'abonnés est modélisée par la suite $(u_{n})$ .
  D'après la question précédente, on a $u_{n} = 8 - 6 \times {0,4}^{n}$ .
  Par conséquent, le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900 pour le plus petit entier n tel que $\begin{array}{l} 8 - 6 \times {0,4}^{n} ⩾ 7,9 & \Leftrightarrow & - 6 \times {0,4}^{n} ⩾ - 0,1 \\ \Leftrightarrow & {0,4}^{n} ⩽ \frac{0,1}{6} & Multiplication par un réel négatif \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,4}^{n}) ⩽ \ln (\frac{0,1}{6}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,4 ⩽ \ln (\frac{0,1}{6}) & Pour tout réel a strictement postif, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (\frac{0,1}{6})}{\ln 0,4} & \ln 0,4 < 0 \end{array}$
  Soit $n ⩾ 5$ c'est à dire 5 ans après le après le l^er janvier 2007.
  Le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900 à partir de 2012.
2. Est-il possible pour la direction de la revue d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 8 000 ?
  La fonction $x \mapsto {0,4}^{x}$ est strictement décroissante et la fonction affine $x \mapsto 8 - 6 x$ est strictement décroissante donc par composition, la fonction f définie sur $ℝ$ par $f (x) = 8 - 6 \times {0,4}^{x}$ est strictement croissante. Par conséquent, la suite $(u_{n})$ est croissante.
  Ainsi, la suite $(u_{n})$ est croissante et converge vers 8 alors pour tout entier n $u_{n} < 8$ .
  Il n'est pas possible d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 8 000 avec ce modéle.

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