(Bac Nouvelle Calédonie Mars 2007)
Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :
x | − 1 | ||||
3 | 0 |
La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points et . Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.
Déterminer graphiquement et .
Soit g la fonction définie sur par . On admet que g est dérivable sur .
Justifier que f et g ont les mêmes variations.
Déterminer et (on justifiera les résultats).
Calculer .
Soit h la fonction définie sur l'intervalle par . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle .
Déterminer (on justifiera le résultat).
Calculer .
(Bac Liban Juin 2005)
Un fournisseur d'accès à Internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.
Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données dans le tableau et le graphique ci-dessous :
Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 |
Rang | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Indice | 100 | 112 | 130 | 160 | 200 |
Le nombre d'abonnés était de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004?
Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004?
Quelle est l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés?
Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010?
On arrondira à l'entier le plus proche.
Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant
Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera les valeurs arrondies à 10-2.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées et la droite de régression de Y en x donnée par l'équation : .
Exprimer le nombre d'abonnés en fonction du rang de l'année.
En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.
On considère la suite numérique définie par et pour tout entier naturel n.
Utiliser les droites d'équations et tracées ci-dessous, pour construire les quatre premiers termes de la suite .
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite ?
Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,4.
Exprimer alors , en fonction de n. En déduire une expression de en fonction de n.
Déterminer la limite de la suite .
Une revue spécialisée est diffusée à 12 000 exemplaires soit par abonnement soit par vente en librairie. Au ler janvier 2007, 2 000 personnes sont abonnées à cette revue. Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement.
Pour tout nombre entier naturel n, on note le nombre d'abonnés à la revue, exprimé en milliers, n années après le ler janvier 2007. On a donc .
On suppose que le nombre d'abonnés à la revue évolue de la même façon les années suivantes.
À partir de quelle année le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900.
Est-il possible pour la direction de la revue d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 8 000 ?
(Bac Nouvelle Calédonie Mars 2007)
Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut et le défaut , à l'exclusion de tout autre défaut.
On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut , 37 % ont le défaut , et 10 % ont les deux défauts.
On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?
Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.
On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut , et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut . On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut sont réparables, et que 30 % des pièces qui ont le défaut sont réparables.
On choisit une pièce au hasard. On note :
Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut et est réparable ».
Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable ».
Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).
À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut .
X est un réel appartenant à l'intervalle .
Résoudre l'équation .
Résoudre l'inéquation .
En déduire que le réel est solution de l'équation .
f et g sont deux fonctions définies sur l'intervalle par et .
Leurs courbes représentatives et sont données ci-dessous.
Étudier les limites en des fonctions f et g. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.
Étudier les de variations des fonctions f et g.
En utilisant les résultats de la PARTIE A, calculer les coordonnées du point d'intersection des courbes et et montrer que sur l'intervalle .
Montrer par un calcul de primitive, qu'une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle par .
Calculer la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre les courbes , , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
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