contrôles en terminale ES

contrôle du 12 mai 2007

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

(Bac Nouvelle Calédonie Mars 2007)

Soit une fonction f définie sur et dérivable sur . On donne son tableau de variations :

x− ∞ − 1 + ∞

fx

− ∞

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

3

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0


La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A-31 et B-13. Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer graphiquement f-3 et f-1.

  2. Soit g la fonction définie sur par gx=efx . On admet que g est dérivable sur .

    1. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

    2. Déterminer limx-gx et limx+gx (on justifiera les résultats).

    3. Calculer g-3.

  3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle -3,1+ par hx=lnfx . On admet que h est dérivable sur sur l'intervalle -3,1+.

    1. Déterminer limx+hx (on justifiera le résultat).

    2. Calculer h-3.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

(Bac Liban Juin 2005)

Un fournisseur d'accès à Internet, souhaite faire une prévision du nombre de ses abonnés pour l'année 2005, il établit un relevé du nombre des abonnés des années 2000 à 2004.

Il affecte l'indice 100 à l'année 2000 pour établir la statistique des abonnés et consigne les données dans le tableau et le graphique ci-dessous :

Année20002001200220032004
Rang xi12345
Indice yi100112130160200

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie A

  1. Le nombre d'abonnés était de 2040 pour l'année 2000, de combien est-il pour l'année 2004?

  2. Quel est le pourcentage d'augmentation du nombre d'abonnés entre 2003 et 2004?

  3. Quelle est l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés?

  4. Quelles prévisions du nombre d'abonnés peut-on faire pour les années 2005 et 2010?
    On arrondira à l'entier le plus proche.

partie B

Le fournisseur décide d'utiliser un changement de variable pour obtenir un autre ajustement, il crée un nouveau tableau en posant Y=ln(y)

  1. Recopier et compléter le tableau suivant. On donnera les valeurs arrondies à 10-2.

    xi12345
    Yi=lnyi
  2. Dans le plan muni d'un repère, construire le nuage de points de coordonnées xiYi et la droite de régression de Y en x donnée par l'équation : Y=0,17x+4,39.

  3. Exprimer le nombre d'abonnés ni en fonction du rang xi de l'année.

  4. En déduire une nouvelle prévision du nombre d'abonnés pour les années 2005 et 2010.


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique un définie par u0=2 et un+1=0,4un+4,8 pour tout entier naturel n.

  1. Utiliser les droites d'équations y=x et y=0,4x+4,8 tracées ci-dessous, pour construire les quatre premiers termes de la suite un.

    Droites : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite un ?

  2. Soit la suite vn définie, pour tout entier naturel n par vn=un-8.

    1. Démontrer que la suite vn est une suite géométrique de raison 0,4.

    2. Exprimer alors vn, en fonction de n. En déduire une expression de un en fonction de n.

    3. Déterminer la limite de la suite un.

  3. Une revue spécialisée est diffusée à 12 000 exemplaires soit par abonnement soit par vente en librairie. Au ler janvier 2007, 2 000 personnes sont abonnées à cette revue. Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement et 40% des acheteurs non abonnés de la revue souscrivent un abonnement.
    Pour tout nombre entier naturel n, on note un le nombre d'abonnés à la revue, exprimé en milliers, n années après le ler janvier 2007. On a donc u0=2.
    On suppose que le nombre d'abonnés à la revue évolue de la même façon les années suivantes.

    1. À partir de quelle année le nombre d'abonnés sera supérieur à 7 900.

    2. Est-il possible pour la direction de la revue d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 8 000 ?


EXERCICE 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

(Bac Nouvelle Calédonie Mars 2007)

Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut DA et le défaut DB, à l'exclusion de tout autre défaut.

  1. On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 28 % ont le défaut DA, 37 % ont le défaut DB, et 10 % ont les deux défauts.

    On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

  2. Dans la suite du problème on s'intéresse aux pièces défectueuses qui n'ont qu'un seul défaut.

    On admet que 40 % de ces pièces ont seulement le défaut DA, et que 60 % de ces pièces ont seulement le défaut DB. On a constaté que 40 % des pièces qui ont le défaut DA sont réparables, et que 30 % des pièces qui ont le défaut DB sont réparables.

    On choisit une pièce au hasard. On note :

    • A l'évènement : « La pièce a le défaut DA » ;
    • B l'évènement : « La pièce a le défaut DB » ;
    • R l'évènement : « La pièce est réparable ».
    1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    2. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie a le défaut DA et est réparable ».

    3. Calculer la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable ».

    4. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle ait le défaut DA (le résultat sera donné sous la forme d'une fraction irréductible).

    5. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.

      Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2 pièces aient le défaut DA.


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

PARTIE A

  1. X est un réel appartenant à l'intervalle 0+.

    1. Résoudre l'équation X+1=2X.

    2. Résoudre l'inéquation X+12X.

  2. En déduire que le réel α=5 est solution de l'équation e0,2x-1+1=2e1-0,2x.

PARTIE B

f et g sont deux fonctions définies sur l'intervalle 0+ par fx=e0,2x-1+1 et gx=2e1-0,2x.
Leurs courbes représentatives 𝒞f et 𝒞g sont données ci-dessous.

Courbes représentatives des fonctions f et g L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Étudier les limites en + des fonctions f et g. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.

  2. Étudier les de variations des fonctions f et g.

  3. En utilisant les résultats de la PARTIE A, calculer les coordonnées du point d'intersection des courbes 𝒞f et 𝒞g et montrer que fxgx sur l'intervalle 05.

  4. Montrer par un calcul de primitive, qu'une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle 0+ par Gx=-10e1-0,2x.

  5. Calculer la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre les courbes 𝒞f, 𝒞g, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5.



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