X est un réel appartenant à l'intervalle .
Résoudre l'équation .
Pour tout réel X appartenant à l'intervalle ,
Cherchons les solutions appartenant à l'intervalle de l'équation du second degré .
Le discriminant . d'où
et est la seule solution comprise dans l'intervalle .
Sur l'intervalle , l'équation admet une seule solution .
Résoudre l'inéquation .
Pour tout réel X appartenant à l'intervalle ,
Comme , le signe du quotient dépend du signe du polynôme du second degré sur .
Les racines du polynôme sont et . Donc sur l'intervalle , et sur l'intervalle ,
Sur l'intervalle , l'ensemble des solutions l'inéquation est .
En déduire que le réel est solution de l'équation .
Pour tout réel x,
Posons , avec . L'équation s'écrit alors : .
Comme une exponentielle est toujours strictement positive seule la solution obtenue dans la première question convient. Ainsi :
Le réel est l'unique solution de l'équation .
f et g sont deux fonctions définies sur l'intervalle par et .
Leurs courbes représentatives et sont données ci-dessous.
Étudier les limites en des fonctions f et g. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.
or, donc par composition, et .
Ainsi, .
or, donc par composition, et .
, donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe en .
Étudier les de variations des fonctions f et g.
Pour étudier les de variations des fonctions f et g on peut :
soit utiliser le théorème sur le sens de variation de :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et ont les mêmes variations sur I.
La fonction affine est strictement croissante sur donc la fonction est strictement croissante sur .
Par conséquent, la fonction f définie sur par est strictement croissante.
La fonction affine est strictement décroissante sur donc la fonction est strictement décroissante sur .
Par conséquent, la fonction g définie sur par est strictement décroissante.
soit étudier le signe de leurs dérivées respectives
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et pour tout réel x de I, .
, pour tout réel x de l'intervalle , posons d'où
Donc .
Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur alors sur .
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante.
, pour tout réel x de l'intervalle , posons d'où
Donc .
Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur alors sur .
Par conséquent, la fonction g est strictement décroissante.
En utilisant les résultats de la PARTIE A, calculer les coordonnées du point d'intersection des courbes et et montrer que sur l'intervalle .
L'abscisse x du point d'intersection des deux courbes est solution de l'équation
D'après la deuxième question de la PARTIE A, et
Le point d'intersection des courbes et a pour coordonnées
Déterminons les solutions de l'inéquation
Posons , avec . L'inéquation s'écrit alors .
D'après la question 1b de la PARTIE A, sur l'intervalle , l'ensemble des solutions l'inéquation est d'où :
Comme une exponentielle est toujours strictement positive, x est solution de l'inéquation
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle .
Montrer par un calcul de primitive, qu'une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle par .
, on essaye de se ramener à la formule de primitive du cours : « une primitive de est »
Pour tout réel x de l'intervalle , posons d'où
Ainsi pour tout réel x de l'intervalle
Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle par .
Calculer la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre les courbes , , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
f et g sont deux fonctions positives et sur l'intervalle , .
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré est donc
Déterminons une primitive de la fonction f :
, pour tout réel x de l'intervalle , posons d'où
Ainsi pour tout réel x de l'intervalle
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle par . D'où
L'aire du domaine compris entre les courbes , , l'axe des ordonnées et la droite d'équation est égale à unités d'aire.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.