contrôles en terminale ES

contrôle du 12 mai 2007

Corrigé de l'exercice 4

PARTIE A

  1. X est un réel appartenant à l'intervalle ]0;+[.

    1. Résoudre l'équation X+1=2X.

      Pour tout réel X appartenant à l'intervalle ]0;+[, X+1=2XX+1-2X=0X2+X-2X=0

      Cherchons les solutions appartenant à l'intervalle ]0;+[ de l'équation du second degré X2+X-2=0.

      Le discriminant Δ=1-4×(-2)=9. Δ>0 d'où X1=-1-32=-2 et X2=-1+32=1

      et X2=1 est la seule solution comprise dans l'intervalle ]0;+[.

      Sur l'intervalle ]0;+[, l'équation X+1=2X admet une seule solution X=1.


    2. Résoudre l'inéquation X+12X.

      Pour tout réel X appartenant à l'intervalle ]0;+[, X+12XX2+X-2X0

      Comme X>0, le signe du quotient X2+X-2X dépend du signe du polynôme du second degré X2+X-2 sur ]0;+[.

      Les racines du polynôme sont X1=-3 et X2=1. Donc sur l'intervalle ]0;1], X2+X-20 et sur l'intervalle ]1;+[, X2+X-2>0

      Sur l'intervalle ]0;+[ , l'ensemble des solutions l'inéquation X+12X est S=]0;1].


  2. En déduire que le réel α=5 est solution de l'équation e0,2x-1+1=2e1-0,2x.

    Pour tout réel x, e0,2x-1+1=2e1-0,2xe0,2x-1+1=2e0,2x-1

    Posons X=e0,2x-1, avec X>0 . L'équation s'écrit alors : X+1=2X.

    Comme une exponentielle est toujours strictement positive seule la solution obtenue dans la première question X=1 convient. Ainsi :e0,2x-1=1ln(e0,2x-1)=ln(1)0,2x-1=0x=5

    Le réel α=5 est l'unique solution de l'équation e0,2x-1+1=2e1-0,2x.


PARTIE B

f et g sont deux fonctions définies sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=e0,2x-1+1 et g(x)=2e1-0,2x.
Leurs courbes représentatives 𝒞f et 𝒞g sont données ci-dessous.

Courbes représentatives des fonctions f et g L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Étudier les limites en + des fonctions f et g. Préciser les asymptotes éventuelles aux courbes.

    • limx+0,2x-1=+ or, limX+eX=+ donc par composition, limx+e0,2x-1=+ et limx+e0,2x-1+1=+.

      Ainsi, limx+f(x)=+.


    • limx+1-0,2x=- or, limX-eX=0 donc par composition, limx+e1-0,2x=0 et limx+2e1-0,2x=0.

      limx+g(x)=0, donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe 𝒞g en +.


  2. Étudier les de variations des fonctions f et g.

    Pour étudier les de variations des fonctions f et g on peut :

    1. soit utiliser le théorème sur le sens de variation de eu :

      Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Les fonctions u et eu ont les mêmes variations sur I.


      • La fonction affine x0,2x-1 est strictement croissante sur donc la fonction xe0,2x-1 est strictement croissante sur .

        Par conséquent, la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=e0,2x-1+1 est strictement croissante.


      • La fonction affine x1-0,2x est strictement décroissante sur donc la fonction xe1-0,2x est strictement décroissante sur .

        Par conséquent, la fonction g définie sur ]0;+[ par g(x)=2e1-0,2x est strictement décroissante.


    2. soit étudier le signe de leurs dérivées respectives

      Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f(x)=eu(x)×u(x).


      • f(x)=e0,2x-1+1 , pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, posons u(x)=0,2x-1 d'où u(x)=0,2

        Donc f(x)=0,2e0,2x-1.

        Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur alors f(x)>0 sur ]0;+[.

        Par conséquent, la fonction f est strictement croissante.


      • g(x)=2e1-0,2x, pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, posons u(x)=1-0,2x d'où u(x)=-0,2

        Donc g(x)=-0,4e1-0,2x.

        Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur alors g(x)<0 sur ]0;+[.

        Par conséquent, la fonction g est strictement décroissante.


  3. En utilisant les résultats de la PARTIE A, calculer les coordonnées du point d'intersection des courbes 𝒞f et 𝒞g et montrer que f(x)g(x) sur l'intervalle ]0;5].

    L'abscisse x du point d'intersection I(x;y) des deux courbes est solution de l'équation f(x)=g(x)e0,2x-1+1=2e1-0,2x

    D'après la deuxième question de la PARTIE A, x=5 et f(5)=e0,2×5-1+1=e0+1=2

    Le point d'intersection des courbes 𝒞f et 𝒞g a pour coordonnées I(5;2)


    Déterminons les solutions de l'inéquation f(x)g(x)f(x)g(x)e0,2x-1+12e1-0,2xe0,2x-1+12e0,2x-1

    Posons X=e0,2x-1, avec X>0 . L'inéquation s'écrit alors X+12X.

    D'après la question 1b de la PARTIE A, sur l'intervalle ]0;+[, l'ensemble des solutions l'inéquation X+12X est S=]0;1] d'où :0<e0,2x-11

    Comme une exponentielle est toujours strictement positive, x est solution de l'inéquation e0,2x-11ln(e0,2x-1)ln(1)0,2x-10x5

    Ainsi, f(x)g(x) pour tout réel x de l'intervalle ]0;5].


  4. Montrer par un calcul de primitive, qu'une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle ]0;+[ par G(x)=-10e1-0,2x.

    g(x)=2e1-0,2x , on essaye de se ramener à la formule de primitive du cours : « une primitive de ueu est eu»

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[ , posons u(x)=1-0,2x d'où u(x)=-0,2

    Ainsi pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[g(x)=-10×(-0,2e1-0,2x)=-10×u(x)×eu(x)

    Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle ]0;+[ par G(x)=-10e1-0,2x.


  5. Calculer la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre les courbes 𝒞f, 𝒞g, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5.

    f et g sont deux fonctions positives et sur l'intervalle ]0;5], f(x)g(x).

    L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré est donc 05g(x)dx-05f(x)dx

    Déterminons une primitive de la fonction f :

    f(x)=e0,2x-1+1, pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[ , posons u(x)=0,2x-1 d'où u(x)=0,2

    Ainsi pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[f(x)=5×(0,2e0,2x-1)+1=10×u(x)×eu(x)+1

    Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=5e0,2x-1+x . D'où

    05g(x)dx-05f(x)dx=052e1-0,2xdx-05e0,2x-1+1dx=[-10e1-0,2x]05-[5e0,2x-1+x]05=[(-10e1-0,2×5)-(-10e1-0,2×0)]-[(5e0,2×5-1+5)-(5e0,2×0-1+0)]=[-10e0+10e1]-[5e0+5-5e-1]=-10+10e-5-5-5e-1=10e-20+5e

    L'aire du domaine compris entre les courbes 𝒞f, 𝒞g, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5 est égale à 10e-20+5e unités d'aire.



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