contrôles Spécialité en terminale ES

contrôle du 22 novembre 2007

Corrigé de l'exercice

partie a

La figure 1 ci-dessous représente la surface S d'équation $z = - 2 x^{2} + 27 x - x y + 12 y - y^{2}$

1. Le point $A (2; 6; 70)$ appartient-il à la surface S ?
  $- 2 \times 2^{2} + 27 \times 2 - 2 \times 6 + 12 \times 6 - 6^{2} = 70$
  Les coordonnées du point A vérifient l'équation de la surface S donc le point $A (2; 6; 70)$ appartient à la surface S.
2. Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 2 et d'ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B ?
  Le point B est situé à l'intersection de la courbe de niveau d'abscisse $x = 2$ et de la courbe de niveau d'ordonnée $y = 4$ .
  Figure 1
  Le point B d'abscisse 2 et d'ordonnée 4 appartient à la surface S donc sa cote z est : $z = - 2 \times 2^{2} + 27 \times 2 - 2 \times 4 + 12 \times 4 - 4^{2} = 70$
  Le point B a pour coordonnées $B (2; 4; 70)$
1. Soit $y = 2$ . Exprimer alors z sous 1a forme $z = f (x)$ puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation $y = 2$ .
  Si $y = 2$ alors $\begin{array}{l} z & = & - 2 x^{2} + 27 x - x \times 2 + 12 \times 2 - 2^{2} \\ = & - 2 x^{2} + 25 x + 20 \end{array}$
  La section de la surface S par le plan d'équation $y = 2$ est une parabole d'équation $z = - 2 x^{2} + 25 x + 20$ .
2. Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan $(x O z)$ d'une courbe de niveau d'ordonnée constante k. Déterminer la valeur de k.
  Figure 2
  Les points de de coordonnées $(2; y; 70)$ et $(6; y; 90)$ sont sur la courbe de niveau d'ordonnée $y = k$ donc k est solution de $\begin{array}{l} {\begin{matrix} - 2 \times 2^{2} + 27 \times 2 - 2 y + 12 y - y^{2} & = & 70 \\ - 2 \times 6^{2} + 27 \times 6 - 6 y + 12 y - y^{2} & = & 90 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} - y^{2} + 10 y & = & 70 - 46 \\ - y^{2} + 6 y & = & 90 - 90 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 4 y & = & 24 \\ - y^{2} + 6 y & = & 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} y & = & 6 \\ - y^{2} + 6 y & = & 0 \end{array} \end{array}$
  La courbe C représente la projection orthogonale dans le plan $(x O z)$ de la courbe de niveau $y = 6$ .

partie b

La fabrication d'un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note :

x la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d'heures ;
y la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d'heures.

La quantité produite exprimée en tonnes est donnée par la relation : $\begin{matrix} f (x; y) = - 2 x^{2} + 27 x - x y + 12 y - y^{2} & avec 0 < x ⩽ 10 et 0 < y ⩽ 10 \end{matrix}$ Les contraintes liées aux horaires de travail font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d'heures.

On cherche à maximiser la production sous cette contrainte.
1. Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $g (x) = - 2 x^{2} + 24 x + 27$ .
  La contrainte sur les durées d'utilisation des machines est : $\begin{matrix} x + y = 9 & \Leftrightarrow & y = 9 - x \end{matrix}$
  Sous cette contrainte de temps, la quantité produite exprimée en tonnes est modélisée par la fonction g telle que : $\begin{array}{l} g (x) & = & - 2 x^{2} + 27 x - x (9 - x) + 12 \times (9 - x) - {(9 - x)}^{2} \\ = & - 2 x^{2} + 27 x - 9 x + x^{2} + 108 - 12 x - x^{2} + 18 x - 81 \\ = & - 2 x^{2} + 24 x + 27 \end{array}$
  Sous la contrainte $x + y = 9$ , la quantité produite exprimée en tonnes peut être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle $] 0; 10]$ par $g (x) = - 2 x^{2} + 24 x + 27$ .
2. En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d'obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes.
  La fonction $x \mapsto - 2 x^{2} + 24 x + 27$ est une fonction polynôme du second degré avec $a = - 2, b = 24 et c = 27$ . Elle atteint un maximum pour $\begin{matrix} x_{0} = - \frac{24}{2 \times (- 2)} = 6 & et & x_{0} \in] 0; 10] \end{matrix}$
  g est maximale pour $x_{0} = 6$ d'où une durée de fonctionnement de la machine B : $\begin{matrix} y_{0} = 9 - 6 = 3 & et & y_{0} \in] 0; 10] \end{matrix}$
  La production est maximale pour $x_{0} = 6 et y_{0} = 3$ . La quantité produite est alors : $g (6) = - 2 \times 6^{2} + 24 \times 6 + 27 = 99$
  La production maximale est de 99 tonnes, avec une durée de fonctionnement de 600 heures pour la machine A et de 300 heures pour la machine B.
La direction de l'entreprise envisage d'augmenter d'une centaine d'heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines.
La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan $(x O y)$ d'une partie de la surface S d'équation $z = - 2 x^{2} + 27 x - x y + 12 y - y^{2}$ .
1. Représenter sur la figure 3 les contraintes $x + y = 9$ et $x + y = 10$ .
  Dans l'espace, $x + y = 9$ et $x + y = 10$ sont les équations de deux plans parallèles à l'axe (Oz), donc leurs projections orthogonales dans le plan $(x O y)$ sont deux droites d'équations respectives $x + y = 9$ et $x + y = 10$ .
  Figure 3
2. Quelle sera la conclusion de la direction de l'entreprise ?
  Graphiquement, la courbe de niveau de cote maximale ayant une intersection avec la droite d'équation $x + y = 10$ est $z = 98$ . Donc avec la contrainte $x + y = 10$ , la production maximale est de 98 tonnes.
  Ainsi, une augmentation d'une centaine d'heures de la durée totale de fonctionnement des machines entraîne une baisse de la production maximale.
  La direction de l'entreprise n'augmente pas le nombre d'heures d'utilisation des machines.

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