Contrôle du 16 avril 2008

exercice 1

Le tableau suivant donne la moyenne mensuelle du cours du blé à Chicago exprimé en cents/boisseau de janvier à décembre 2007.

Rang $x_i$ du mois	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Moyenne mensuelle du cours $y_i$ (cents/boisseau)	466,1	464,7	459,5	471,2	486	573,5	613,3	691,8	863	853,7	791,7	916,7

1. 1. Représenter le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour un mois en abscisse et 1 cm pour 100 cents en ordonnée).

   2. Donner l'équation de la droite D d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à ${10}^{-3}$ près. Tracer la droite D dans le repère précédent.

2. La forme du nuage de points permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose $z_i=\ln y_i$.

   1. Compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à ${10}^{-3}$)

      $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
      $y_i$	466,1	464,7	459,5	471,2	486	573,5	613,3	691,8	863	853,7	791,7	916,7
      $z_i=\ln y_i$	6,144	6,141	6,13

   2. L'équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés est $z=\mathrm{0,0725}x+\mathrm{5,951}$.
      En déduire l'expression de y en fonction de x de la forme $y=a{\mathrm{e}}^{bx}$ avec a arrondi au centième.

3. La moyenne du cours du blé pour le mois de février 2008 était de 1059 cents/boisseau. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ?

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exercice 2

partie a

La courbe (C) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$ . On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $ℝ$ .

1. Au point $A\left(0;1\right)$ , la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$ .

2. Une des quatre courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction F.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3	Courbe 4

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x+{\mathrm{e}}^{-x}$ .

1. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^x+1}{{\mathrm{e}}^x}}$ et déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .

   2. Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation $y=x$ en $+\infty$ .

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ .

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $ℝ$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

3. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=-1$ .

   1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.

   2. Calculer $F\left(x\right)$ .

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exercice 3

Un atelier produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut. On a constaté que, parmi les pièces produites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts.

1. On choisit au hasard une des pièces produites. Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse ?

2. On admet que 80 % des pièces qui n'ont qu'un seul des deux défauts  sont réparables, et que 40 % des pièces qui ont les deux défauts sont réparables. On choisit une pièce au hasard et on note :

   • $D_1$ l'évènement : « La pièce a un seul défaut »;
   • $D_2$ l'évènement : « La pièce a deux défauts»;
   • R l'évènement : « La pièce est réparable ».

   1. Montrer que la probabilité de l'évènement : « La pièce choisie est réparable » est $p\left(R\right)=\mathrm{0,32}$.

   2. Sachant que la pièce choisie est réparable, déterminer la probabilité qu'elle n'ait qu'un seul défaut.

   3. On choisit au hasard successivement cinq pièces. On suppose que le nombre de pièces est suffisamment important pour que ces tirages s'effectuent dans des conditions identiques et de manière indépendante.
      Calculer la probabilité pour que, sur les 5 pièces choisies, au moins une pièce soit réparable.

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exercice 4 candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Recopier les propositions suivantes, en indiquant pour chacune d'elles, si elle est juste ou fausse. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

1. Il faut au moins 24 ans pour qu'un capital placé à un taux d'intérêt annuel de 3% double.

2. Pour diminuer le montant des dépenses publicitaires d'une entreprise de 30% en 5 ans il suffit de diminuer le montant des dépenses publicitaires de 6% par an.

3. ${\mathrm{e}}^0$ est solution de l'équation $\ln x=x$.

4. Sur $\left]0;+\infty \right[$, la fonction F telle que $F\left(x\right)=x\ln x-x$ est une primitive de la fonction f telle que $f\left(x\right)=\ln x-1$.

5. Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\ln \left(x^2+1\right)}-\ln \left({\mathrm{e}}^{1-x^2}\right)⩾0$.

6. Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\ln \left(x^2-1\right)}=x^2-1$.

7. Pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x+1}}{{\mathrm{e}}^{x^2+1}}}={\displaystyle \frac{2x+1}{x^2+1}}$.

8. Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{x^2}={\mathrm{e}}^{2x}$.

9. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}}={\mathrm{e}}^0$.

10. La solution de l'équation ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}x}+\mathrm{0,8}=1$ est négative.

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exercice 4 candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une observation faite sur la fréquentation d'un stade a permis de constater, pour chaque année, un taux de réabonnement de 80%, ainsi que l'apparition de 10  000 nouveaux abonnés.

L'objet de cet exercice est l'étude du nombre annuel des abonnés, en supposant que la situation décrite par l'observation reste la même au fil des ans.

On note $a_n$ le nombre des abonnés à la fin de la n ^ième année et on précise que $a_0=\mathrm{30\; 000}$ .

1. Calculer $a_1$ et $a_2$ . Justifier que pour tout nombre entier naturel n, on a $a_{n+1}=\mathrm{0,8}{a}_n+\mathrm{10\; 000}$ .

2. Étude graphique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ .

   1. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm représente 10 000 abonnés) représenter la droite D d'équation $y=\mathrm{0,8}x+\mathrm{10\; 000}$ et la droite Δ d'équation $y=x$ .
      Placer $a_0$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et Δ, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_1$ , $a_2$ et $a_3$ (laisser apparents les traits de construction).

   2. Quelle semble être la limite de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

3. Étude numérique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ .

   On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_n=a_n-\mathrm{50 000}$ pour tout nombre entier naturel n.

   1. Démontrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $a_n=\mathrm{50 000}-\mathrm{20 000}\times {\mathrm{0,8}}^n$ .

   3. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$ .

4. L'objectif des dirigeants du stade est d'avoir au moins 45 000 abonnés. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, dans combien d'années, cet objectif sera-t-il atteint ?

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