contrôles en terminale ES

contrôle du 19 décembre 2007

thèmes abordés

Primitives d'une fonction.
Premières propriétés de la fonction ln.

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) Soit f la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 3 x + 2 - \ln x$	f est croissante $f (x) = \frac{3 x + 2}{\ln x}$ $f' (1) = 2$
2) $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} - 1) =$	0 $\ln (2 \sqrt{2})$ $\ln 2$
3) Pour tout réel x strictement supérieur à 2, $\ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2) =$	$\ln (x + 2)$ $\ln (x^{2} - x - 2)$ $\ln (x - 2)$
4) La primitive F de la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{2 x - 1}{x}$ telle que $F (1) = 1$ est la fonction F définie sur $] 0; + \infty [$ par	$F (x) = x^{2} - \ln (x)$ $F (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x}$ $F (x) = 2 x - \ln (x) - 1$
5) Si a est un réel strictement positif tel que $\ln (a^{2}) = 2$ alors	$\ln a = \sqrt{2}$ $\ln a = \frac{1}{2}$ $\ln a = 1$

exercice 2

Une primitive sur $ℝ$ d'une fonction f est définie par $F (x) = \frac{2}{x^{2} - 2 x + 2}$ .

Calculer $F (0)$
On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une autre primitive G de f.
1. Donner l'expression de $G (x)$ .
2. Déterminer $f (1)$ .

exercice 3

Dans chaque cas, trouver la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{2}$ et $F (1) = 0$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 2 x^{3} - 1 - \frac{1}{x^{2}}$ et $F (1) = 1$

exercice 4

Simplifier l'écriture des expressions suivantes :

$a = \frac{1}{3} \ln 9 - 4 \ln \sqrt{3} - \ln \frac{1}{3}$
$b = \frac{\ln 36}{\ln 3 + \ln 2}$
$c = \frac{\ln 5 - \ln 10}{2 \ln (\sqrt{2})}$

exercice 5

Les deux questions suivantes sont indépendantes.

Résoudre dans $ℝ$ l'équation suivante après avoir précisé l'ensemble de définition de l'équation. $\ln (1 - 2 x) = \ln (x + 2) + \ln 3$
1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $1 - x^{2} > 0$
2. Déterminer l'ensemble de définition de l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$
3. Résoudre dans l'intervalle $] \frac{1}{2}; 1 [$ l'équation $\ln (1 - x^{2}) = \ln (2 x - 1)$

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